> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/cs/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md). # Dolní a horní indexy ## Úvod Použití horních a dolních indexů je v matematických výrazech zahrnujících exponenty, indexy a některé speciální operátory velmi běžné. Tento článek vysvětluje, jak zapisovat horní a dolní indexy v jednoduchých výrazech, integrálech, součtech a podobně. Určité integrály patří mezi nejběžnější matematické výrazy, takže se podívejme na příklad: ```latex \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento kód LaTeXu vytváří: $$\int\limits\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ Podle konvence se horní a dolní indexy v LaTeXu vytvářejí pomocí znaků `^` a `_` resp.; například exponenty použité u $$x$$ a $$y$$ v ukázce kódu výše. Tyto znaky lze také použít s matematickými symboly, například s integrálem (`\int`) uvedeným ve výše uvedeném příkladu, kde `_` se používá k nastavení dolní meze a `^` pro horní mez. Příkaz `\limits` mění způsob zobrazení mezí v integrálu; pokud není přítomen, budou meze vedle symbolu integrálu místo nad a pod ním: ```latex \[ \int_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento kód LaTeXu vytváří: $$\int\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ ## Podrobnější příklady Symboly `_` a `^` lze také kombinovat ve stejném výrazu, například: ```latex \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento kód LaTeXu vytváří: $$a\_1^2 + a\_2^2 = a\_3^2$$ Pokud výraz obsahuje dlouhé horní nebo dolní indexy, je třeba je uzavřít do složených závorek, protože LaTeX obvykle používá matematické příkazy `^` a `_` jen na následující znak: ```latex \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+3\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento kód LaTeXu vytváří: $$x^{2 \alpha} - 1 = y\_{ij} + y\_{ij}$$ Dolní a horní indexy lze vnořovat a různě kombinovat. Při vnořování dolních a horních indexů však pamatujte, že každý příkaz musí odkazovat na jediný prvek; může jím být jedno písmeno nebo číslo, jak je vidět ve výše uvedených příkladech, nebo složitější matematický výraz uzavřený do složených závorek či hranatých závorek. Například: ```latex \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento kód LaTeXu vytváří: $$(a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}$$ ## Operátory používající dolní a horní indexy Některé matematické operátory mohou vyžadovat dolní a horní indexy. Nejčastějšími případy jsou integrál `\int` (podívejte se na [úvodu](#introduction)) a suma (`\sum`) operátory, jejichž meze se vysazují přesně pomocí dolních a horních indexů. ```latex \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%0A%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento kód LaTeXu vytváří: $$\sum\_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod\_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$$ Další často používané operátory, které vyžadují dolní/horní indexy, najdete v [referenční příručku](#reference-guide). ## Otevřete všechny úryvky kódu v Overleafu K otevření všech výše uvedených příkladů jako jediného projektu Overleaf použijte níže uvedený odkaz: ```latex Zde je několik příkladů jednoduchého použití dolních a horních indexů: \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] \vspace{1cm} Použití horních a dolních indexů ve stejném výrazu \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] \vspace{1cm} Delší dolní a horní indexy: \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] \vspace{1cm} Vnořené dolní a horní indexy \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] \vspace{1cm} Příklad matematické rovnice s dolními a horními indexy \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] \vspace{1cm} Použití odmocniny \[ \sqrt[4]{4ac} = \sqrt{4ac}\sqrt{4ac} \] ``` [Otevřete všechny výše uvedené příklady jako jediný projekt Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+6\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BSubscripts+and+Superscripts%7D%0A%5Cauthor%7BExamples+from+Overleaf%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cmaketitle%0AHere+are+some+examples+of+simple+usage+of+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AUsing+superscript+and+subscripts+in+the+same+expression%0A%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ALonger+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ANested+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AExample+of+a+mathematical+equation+with+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ASquared+root+usage%0A%0A%5C%5B+%5Csqrt%5B4%5D%7B4ac%7D+%3D+%5Csqrt%7B4ac%7D%5Csqrt%7B4ac%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) ## Referenční příručka Další příklady a operátory | Značky LaTeXu | Vykresluje se jako | | --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | `a_{n_i}` | a n i {\displaystyle a\_{n\_{i}}} ![{\displaystyle a\_{n\_{i}}}](/files/bd5adcb0ef6ddf8066f2be0df2d8ccc31c4cef41) | | `\int_{i=1}^n` | ∫ i = 1 n {\displaystyle \int \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \int \_{i=1}^{n}}](/files/ff3d690a924ef5463b7d03d6cfcc7bd082adc6f0) | | `\sum_{i=1}^{\infty}` | ∑ i = 1 ∞ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }} ![{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }}](/files/cdfc9bc572246ac2c650c5488f1be316a143312b) | | `\prod_{i=1}^n` | ∏ i = 1 n {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}}](/files/2b0fefe9db821f1829c626b4a17287b3bb595d7c) | | `\cup_{i=1}^n` | ∪ i = 1 n {\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}}](/files/e2263ef4b30967b250dff6b24c4bfaf125a5049e) | | `\cap_{i=1}^n` | ∩ i = 1 n {\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}}](/files/08000cd1ba77a01c73e1a2cbfeac966d3e3c9feb) | | `\oint_{i=1}^n` | ∮ i = 1 n {\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}}](/files/0c28d919916feff72a15905df832be4624dc81d2) | | `\coprod_{i=1}^n` | ∐ i = 1 n {\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}}](/files/a53d5fc5fc8a21b11f91bbfd19c18a7d5175fa7d) | Existují také `bigcup` a `bigcap` příkazy podobné `cup` a `cap` ale ty se používají pro větší výrazy. ## Další čtení Další informace najdete v * [Seznam řeckých písmen a matematických symbolů](/latex/cs/matematika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Operátory](/latex/cs/matematika/07-operators.md) * [Integrály, součty a limity](/latex/cs/matematika/09-integrals-sums-and-limits.md) * [Matematická písma](/latex/cs/matematika/12-mathematical-fonts.md) * [Závorky a kulaté závorky](/latex/cs/matematika/03-brackets-and-parentheses.md) * [Velký, obsáhlý seznam symbolů LaTeXu](http://www.rpi.edu/dept/arc/training/latex/LaTeX_symbols.pdf) (úplný seznam dostupných matematických symbolů v **amssymb** balíčku) * [Ne zcela krátký úvod do LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) * [Zarovnávání rovnic pomocí amsmath](/latex/cs/matematika/06-aligning-equations-with-amsmath.md) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/cs/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.