> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/cs/matematika/05-fractions-and-binomials.md). # Zlomky a binomické koeficienty ## Úvod Tento článek vysvětluje, jak sázet zlomky a binomické koeficienty, a začíná následujícím příkladem, který používá [`amsmath` accents](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Binomický koeficient, \(\binom{n}{k}\), je definován výrazem: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ta [`amsmath` accents](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) se načte přidáním následujícího řádku do preambule dokumentu: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Zde je vygenerovaný výstup: ![Obrázek ukazující sazbu binomického koeficientu v LaTeXu](/files/eaa5fd0cc912c0617aad0f14387e791e3c7348bc) ## Zobrazení zlomků Vizuální podoba zlomků se bude měnit podle toho, zda se objevují v řádku, jako součást odstavce, nebo jsou vysázeny jako samostatný prvek zobrazený na vlastním řádku. Následující příklad ukazuje tyto změny vizuální podoby: ```latex \documentclass{article} % Použití balíčku geometry ke zmenšení % šířky obrázků v článku nápovědy \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Zlomky lze používat v řádku v textu odstavce, například například \(\frac{1}{2}\), nebo zobrazené na vlastním řádku, takovýto: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![Ukázka řádkového a zobrazovaného matematického režimu v LaTeXu](/files/207a6d880c32d917c16917769cf0088f3641338f) * **Poznámka**: Další informace o řádkové a zobrazované verzi matematiky najdete v článku na Overleafu [Styl zobrazení v matematickém režimu](/latex/cs/matematika/10-display-style-in-math-mode.md). Náš ukázkový zlomek je vysázen pomocí `\frac` příkazu (`\frac{1}{2}`) který má obecný tvar `\frac{*numerator*}{*denominator*}`. ## Zlomky v textovém stylu Následující příklad ukazuje sazbu zlomků pouze v textu pomocí `\text{...}` příkazu poskytovaného balíčkem `amsmath` balíček. Volba `\text{...}` Příkaz se používá k tomu, aby LaTeX nesázel text jako běžný matematický obsah. ```latex \documentclass{article} % Použití balíčku geometry ke zmenšení % šířky obrázků v článku nápovědy \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Pro příkaz \text{...} \begin{document} Používáme příkaz balíčku \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| k vytvoření zlomků pouze v textu takto: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Bez příkazu \verb|\text{...}| výsledek vypadá takto: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![Textové zlomky](/files/22e7bfe451697f86b90bbeab16694748f943e2c2) ## Velikost a rozestupy ve vysázené matematice Velikost a rozestupy matematického materiálu sázeného v LaTeXu jsou [určovány algoritmy](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) které používají údaje o velikosti a umístění obsažené ve fontech použitých k sazbě matematiky. Občas může být nutné, nebo žádoucí, přepsat výchozí matematické styly — velikost a rozestupy matematických prvků — zvolené LaTeXem; toto téma je rozebráno v článku nápovědy na Overleafu [Styl zobrazení v matematickém režimu](/latex/cs/matematika/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Shrnuto, výchozí styl(y) používané k sazbě matematiky lze změnit následujícími příkazy: * `\textstyle`: použije styl používaný pro matematiku sázenou v odstavcích; * `\displaystyle`: použije styl používaný pro matematiku sázenou na samostatných řádcích; * `\scriptstyle`: použije styl používaný pro dolní nebo horní indexy; * `\scriptscriptstyle`: použije styl používaný pro druhé úrovně dolních nebo horních indexů; které jsou ukázány v dalším příkladu. ```latex \documentclass{article} % Použití balíčku geometry ke zmenšení % šířky obrázků v článku nápovědy \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Zlomky sázené v odstavci obvykle vypadají takto: \(\frac{3x}{2}\). \LaTeX{} můžete přimět, aby použil větší zobrazovaný styl, například \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), což má také vliv na prokládání řádků. Velikost matematiky v odstavci lze také zmenšit: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) nebo \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). U příkladu \verb|\scriptscriptstyle| si všimněte zmenšení rozestupů: znaky se přiblíží k \textit{vinculu} (čáře oddělující čitatele a jmenovatele). Stejně tak můžete změnit styl matematiky, který se běžně sází v zobrazovaném stylu: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Otevřete tento příklad v Overleafu](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![Obrázek zobrazující změny výchozích matematických stylů LaTeXu](/files/476d4cdb3eec710e0b2a444f3f5647504026c41f) ## Řetězové zlomky Zlomky lze vnořovat a získat tak složitější výrazy. Druhá dvojice zlomků zobrazená v následujícím příkladu používá oba `\cfrac` příkaz, navržený speciálně pro tvorbu řetězových zlomků. Chcete-li použít `\cfrac` musíte načíst [`amsmath` accents](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) v preambuli dokumentu. ```latex \documentclass{article} % Použití balíčku geometry ke zmenšení % šířky obrázků v článku nápovědy \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Načtěte amsmath pro přístup k příkazu \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Zlomky lze vnořovat, ale v tomto příkladu si všimněte, že výchozí matematické styly, použité ve jmenovateli, nedávají ideální výsledky... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...proto použijeme \verb|\displaystyle| ke zlepšení sazby: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Zde je příklad, který používá příkaz \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Zde je další příklad, odvozený z dokumentace \texttt{amsmath}, který ukazuje levé a pravé umístění čitatele pomocí \verb|\cfrac[l]| a \verb|\cfrac[r]|: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![Grafika ukazující vnořené zlomky vysázené v LaTeXu](/files/f877eb9ebe5cfd11cc8cb6b7732b68d27c3d3944) ## Poslední příklad Tento příklad ukazuje složitější řetězový zlomek: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![Obrázek pokročilého řetězového zlomku vysázeného v LaTeXu](/files/663bf307cf9194729cf27e6ea18dd29481f4ae70) ## Další čtení Více informací viz: * [Matematické výrazy](/latex/cs/matematika/01-mathematical-expressions.md) * [Dolní a horní indexy](/latex/cs/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Závorky a kulaté závorky](/latex/cs/matematika/03-brackets-and-parentheses.md) * [Zarovnávání rovnic pomocí amsmath](/latex/cs/matematika/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operátory](/latex/cs/matematika/07-operators.md) * [Matematická písma](/latex/cs/matematika/12-mathematical-fonts.md) * [Ne zcela krátký úvod do LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/cs/matematika/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.