> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/cs/pro-konkretni-obor/01-theorems-and-proofs.md). # Věty a důkazy ## Úvod Matematické dokumenty obsahují prvky, které vyžadují speciální formátování a číslování, jako jsou věty, definice, tvrzení, poznámky, důsledky, lemmata a podobně. Tento článek vysvětluje, jak tyto prostředí v LaTeXu definovat. Očíslovaná prostředí v LaTeXu lze definovat pomocí příkazu `\newtheorem` který má dva argumenty: ```latex \newtheorem{theorem}{Theorem} ``` * první z nich je název prostředí, které je definováno * druhý je slovo, které se vypíše tučným písmem na začátku prostředí. Jakmile je toto nové prostředí definováno, lze jej v dokumentu běžně používat, ohraničené příkazy `\begin{theorem}` a `\end{theorem}`. Příklad je uveden níže: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Theorem} \begin{document} \section{Úvod} Věty lze snadno definovat: \begin{theorem} Nechť \(f\) je funkce, jejíž derivace existuje v každém bodě, pak \(f\) je spojitá funkce. \end{theorem} \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/4f1b571a7d1812963ea83ed5e509eeedfe2c0333) ## Očíslované věty, definice, důsledky a lemmata Číslování prostředí lze řídit pomocí dvou dalších parametrů v `\newtheorem` příkazu. Podívejme se: ```latex \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Úvod} Věty lze snadno definovat: \begin{theorem} Nechť \(f\) je funkce, jejíž derivace existuje v každém bodě, pak \(f\) je spojitá funkce. \end{theorem} \begin{theorem}[Pythagorova věta] \label{pythagorean} Toto je věta o pravoúhlých trojúhelnících a lze ji shrnout v následující equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} A důsledkem věty \ref{pythagorean} je tvrzení v následujícím důsledku. \begin{corollary} Neexistuje žádný pravoúhlý obdélník, jehož strany měří 3 cm, 4 cm a 6 cm. \end{corollary} Na věty, jako je \ref{pythagorean}, lze odkazovat, když je přiřazen štítek. \begin{lemma} Jsou-li dány dvě úsečky, jejichž délky jsou \(a\) a \(b\), pak existuje reálné číslo \(r\), pro které platí \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/93a730370c02b4ef6ffe922d637fd9d897323457) V preambuli jsou definována tři nová prostředí. **\newtheorem{theorem}{Theorem}\[section]** Toto je příklad uvedený v úvodu, ale má navíc parametr \[section], který resetuje čítač vět při každé nové sekci. **\newtheorem{corollary}{Corollary}\[theorem]** Je vytvořeno prostředí nazvané corollary; čítač tohoto nového prostředí bude resetován pokaždé, když je použito nové prostředí theorem. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** V tomto případě, přestože je vytvořeno nové prostředí nazvané lemma, bude používat stejný čítač jako prostředí theorem. Některé slavné věty mají vlastní názvy; v těchto případech můžete uvedený název přidat do závorek v otevíracím příkazu prostředí. V příkladu řádek `\begin{theorem}[Pythagorova věta]` vypíše na začátku odstavce „Pythagorova věta“. Stejně jako u mnoha dalších číslovaných prvků v LaTeXu lze příkaz `\label` použít k odkazování na prostředí podobná větám v dokumentu. ## Nečíslovaná prostředí podobná větám Může být užitečné mít nečíslované prostředí podobné větám pro přidávání poznámek, komentářů nebo příkladů do matematického dokumentu. Balíček `amsthm` poskytuje tuto funkcionalitu. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Remark} \begin{document} Nečíslovaná prostředí podobná větám jsou také možná. \begin{remark} Toto tvrzení je pravdivé, myslím. \end{remark} \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/0f3ed52da0c628f3d7e6ef49a968582c4998ac2c) Syntaxe příkazu `\newtheorem*` je stejná jako u verze bez hvězdičky, až na parametry čítače. V tomto příkladu je vytvořeno nové nečíslované prostředí nazvané `poznámka` je vytvořeno. ## Styly vět Funkce, která je při práci s matematickým dokumentem důležitá, je snadno rozlišit například definice od vět podle jejich formátování. Balíček `amsthm` poskytuje speciální příkazy k dosažení tohoto. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definice}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Remark} \begin{document} \section{Úvod} Nečíslovaná prostředí podobná větám jsou také možná. \begin{remark} Toto tvrzení je pravdivé, myslím. \end{remark} A další je poněkud neformální definice \begin{definition}[Fibrace] Fibrace je zobrazení mezi dvěma topologickými prostory, které má pro každý prostor \(X\) vlastnost homotopického zdvihání. \end{definition} \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/fd9dad5633221a0d76b1a30c899104291a311fcd) Příkaz `\theoremstyle{ }` nastavuje styl pro očíslované prostředí definované hned pod ním. Ve výše uvedeném příkladu jsou použity styly *poznámka* a *definice* jsou použity. Všimněte si, že poznámka je nyní kurzívou a text v prostředí používá normální (římské) písmo, zatímco definice naproti tomu také používá římské písmo pro text uvnitř, ale slovo „Definition“ je vytištěno tučným písmem. Podívejte se na [referenční příručku](#reference-guide) pro více stylů vět. ## Důkazy Důkazy jsou jádrem matematických článků a knih a je zvykem vizuálně je oddělovat od běžného textu v dokumentu. Balíček `amsthm` poskytuje prostředí `důkaz` pro toto. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Úvod} \begin{lemma} Jsou-li dány dvě úsečky, jejichž délky jsou \(a\) a \(b\), pak existuje reálné číslo \(r\), pro které platí \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Důkaz sporem zkuste předpokládat, že tvrzení je nepravdivé, pokračujte odtud a v určitém okamžiku dospějete ke sporu. \end{proof} \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/01340af15e7a828934bb4fd9b0db5752e0bed091) Slovo `Důkaz` je vytištěno kurzívou a je zde nějaké dodatečné odsazení, také se používá speciální symbol k označení konce důkazu. Tento symbol lze snadno změnit, jak na to se dozvíte v další části. ## Změna symbolu QED Symbol vytištěný na konci důkazu se nazývá „symbol QED“. Abychom citovali [význam QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) z Wikipedie: > QED je iniciálová zkratka latinského výrazu *quod erat demonstrandum*, což znamená „tedy bylo dokázáno“ Je snadné použít symbol nebo formulaci podle vlastního výběru k vyjádření symbolu QED. Příkaz ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` lze použít k nahrazení výchozího bílého čtverce černým čtvercem vytištěným pomocí `$\blacksquare$`, parametrem uvnitř složených závorek. Nebo můžete slovo QED napsat výslovně: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Zde je příklad, který demonstruje obě možnosti: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Úvod} \begin{lemma} Jsou-li dány dvě úsečky, jejichž délky jsou \(a\) a \(b\), pak existuje reálné číslo \(r\), pro které platí \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Důkaz sporem zkuste předpokládat, že tvrzení je nepravdivé, pokračujte odtud a v určitém okamžiku dospějete ke sporu. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Důkaz sporem zkuste předpokládat, že tvrzení je nepravdivé, pokračujte odtud a v určitém okamžiku dospějete ke sporu. \end{proof} \end{document} ``` [Otevřít tento příklad v Overleafu.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tento příklad vytvoří následující výstup: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/d5f43a3722f940b3c9d4678c0c8027acfe3d71a7) ## Referenční příručka ***Styly vět*** * `definice` tučný název, římské tělo. Běžně se používá v definicích, podmínkách, problémech a příkladech. * `plain` tučný název, kurzívní tělo. Běžně se používá ve větách, lemmatech, důsledcích, tvrzeních a domněnkách. * `poznámka` kurzívní název, římské tělo. Běžně se používá v poznámkách, zápiscích, anotacích, tvrzeních, případech, poděkováních a závěrech. ## Další čtení Více informací viz: * [Matematické výrazy](/latex/cs/matematika/01-mathematical-expressions.md) * [Prostředí](/latex/cs/prikazy/02-environments.md) * [Styl zobrazení v matematickém režimu](/latex/cs/matematika/10-display-style-in-math-mode.md) * [Seznam řeckých písmen a matematických symbolů](/latex/cs/matematika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Matematická písma](/latex/cs/matematika/12-mathematical-fonts.md) * [Vícesouborové projekty LaTeXu](/latex/cs/struktura-dokumentu/08-multi-file-latex-projects.md) * [Křížové odkazy na sekce a rovnice](/latex/cs/struktura-dokumentu/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hypertextové odkazy](/latex/cs/struktura-dokumentu/09-hyperlinks.md) * [Ta **amsthm** dokumentace balíčku](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/cs/pro-konkretni-obor/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.