> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/da/fag-specifikt/01-theorems-and-proofs.md).

# Sætninger og beviser

## Introduktion

Matematiske dokumenter indeholder elementer, der kræver særlig formatering og nummerering, såsom sætninger, definitioner, påstande, bemærkninger, korollarer, lemmata og så videre. Denne artikel forklarer, hvordan man definerer disse miljøer i LaTeX.

Nummererede miljøer i LaTeX kan defineres ved hjælp af kommandoen `\newtheorem` som tager to argumenter:

```latex
\newtheorem{theorem}{Sætning}
```

* det første er navnet på det miljø, der defineres
* det andet er det ord, der vil blive udskrevet med fed skrift i begyndelsen af miljøet.

Når dette nye miljø er defineret, kan det bruges normalt i dokumentet, afgrænset af `\begin{theorem}` og `\end{theorem}`. Et eksempel er vist nedenfor:

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Sætning}
\begin{document}

\section{Introduktion}
Sætninger kan nemt defineres:

\begin{theorem}
Lad \(f\) være en funktion, hvis afledte eksisterer i hvert punkt, så er \(f\)
en kontinuert funktion.
\end{theorem}
\end{document}
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Dette eksempel giver følgende output:

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/cb7635c5f4c2cdd23e23cc1677b2fdbb21bc5e4f)

## Nummererede sætninger, definitioner, korollarer og lemmata

Nummereringen af miljøerne kan styres ved hjælp af to yderligere parametre i `\newtheorem` kommandoen. Lad os se:

```latex
\newtheorem{theorem}{Sætning}[section]
\newtheorem{corollary}{Korollar}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{Introduktion}
Sætninger kan nemt defineres:

\begin{theorem}
Lad \(f\) være en funktion, hvis afledte eksisterer i hvert punkt, så er \(f\)
en kontinuert funktion.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Pythagoras' sætning]
\label{pythagorean}
Dette er en sætning om retvinklede trekanter og kan opsummeres i det næste
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

Og en konsekvens af sætning \ref{pythagorean} er udsagnet i det næste
korollar.

\begin{corollary}
Der findes intet retvinklet rektangel, hvis sider måler 3 cm, 4 cm og 6 cm.
\end{corollary}

Du kan henvise til sætninger som \ref{pythagorean}, når der er tildelt en label.

\begin{lemma}
Givet to linjestykker, hvis længder er \(a\) og \(b\) henholdsvis, findes der et
reelt tal \(r\), så \(b=ra\).
\end{lemma}
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Dette eksempel giver følgende output:

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/017d22e95b7bf12a3ba962bc0beb7ee3eb33d64b)

Der er tre nye miljøer defineret i præamblen.

**\newtheorem{theorem}{Sætning}\[section]**

Dette er eksemplet præsenteret i introduktionen, men det har den ekstra parameter \[section], som nulstiller sætningstælleren ved hvert nyt afsnit.

**\newtheorem{corollary}{Korollar}\[theorem]**

Der oprettes et miljø kaldet corollary, og tælleren for dette nye miljø nulstilles, hver gang et nyt theorem-miljø bruges.

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}**

I dette tilfælde vil det, selv om der oprettes et nyt miljø kaldet lemma, bruge den samme tæller som theorem-miljøet.

Nogle berømte sætninger har deres egne navne; i disse tilfælde kan du tilføje det pågældende navn i klammer i kommandoen til at åbne miljøet. I eksemplet udskriver linjen `\begin{theorem}[Pythagoras' sætning]` udskriver "Pythagoras' sætning" i begyndelsen af afsnittet.

Ligesom med mange andre nummererede elementer i LaTeX kan kommandoen `\label` bruges til at henvise til sætning-lignende miljøer i dokumentet.

## Unummererede sætning-lignende miljøer

Det kan være nyttigt at have et unummereret sætning-lignende miljø til at tilføje bemærkninger, kommentarer eller eksempler til et matematisk dokument. Pakken `amsthm` tilbyder denne funktionalitet.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Bemærkning}

\begin{document}
Unummererede sætning-lignende miljøer er også mulige.

\begin{remark}
Denne påstand er vist sand, gætter jeg.
\end{remark}
\end{document}
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Dette eksempel giver følgende output:

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/c3a489c06913d5f6fd8fb65a132861667575bfa9)

Syntaksen for kommandoen `\newtheorem*` er den samme som versionen uden stjerne, bortset fra tællerparametrene. I dette eksempel oprettes et nyt unummereret miljø kaldet `remark` .

## Sætningsstilarter

En funktion, der er vigtig, når man arbejder i et matematisk dokument, er let at kunne skelne f.eks. definitioner fra sætninger ved hjælp af deres formatering. Pakken `amsthm` tilbyder særlige kommandoer til dette.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Bemærkning}

\begin{document}
\section{Introduktion}
Unummererede sætning-lignende miljøer er også mulige.

\begin{remark}
Denne påstand er vist sand, gætter jeg.
\end{remark}

Og det næste er en noget uformel definition

\begin{definition}[Fibration]
En fibrering er en afbildning mellem to topologiske rum, som har homotopiløftningsegenskaben for hvert rum \(X\).
\end{definition}
\end{document}
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Dette eksempel giver følgende output:

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/d2b37ee3925981e9e687b9f9d77105bd00393846)

Kommandoen `\theoremstyle{ }` angiver stilen for det nummererede miljø, der defineres lige nedenunder. I eksemplet ovenfor bruges stilen *remark* og *definition* Bemærk, at remark nu er i kursiv, og teksten i miljøet bruger almindelig (romersk) skrifttype; definitionen bruger derimod også romersk skrifttype til teksten inde i miljøet, men ordet "Definition" udskrives med fed skrift.

Se [referencevejledningen](#reference-guide) for flere theorem-stilarter.

## Beviser

Beviser er kernen i matematiske artikler og bøger, og det er almindeligt at holde dem visuelt adskilt fra den normale tekst i dokumentet. Pakken `amsthm` tilbyder miljøet `bevis` til dette.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Sætning}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{Introduktion}
\begin{lemma}
Givet to linjestykker, hvis længder er \(a\) og \(b\) henholdsvis,
findes der et reelt tal \(r\), så \(b=ra\).
\end{lemma}

\begin{proof}
For at bevise det ved modstrid, så prøv at antage, at udsagnet er falsk,
fortsæt derfra, og på et tidspunkt vil du nå frem til en modsigelse.
\end{proof}
\end{document}
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Dette eksempel giver følgende output:

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/af81748524880a53e7be1c12e7c4be8bfbeb02b8)

Ordet `Bevis` er kursiveret, og der er lidt ekstra afstand; der bruges også et særligt symbol til at markere afslutningen på beviset. Dette symbol kan let ændres; for at lære hvordan, se næste afsnit.

## Ændring af QED-symbolet

Symbolet, der udskrives i slutningen af et bevis, kaldes “QED-symbolet”. For at citere [betydningen af QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) fra Wikipedia:

> QED er en initialforkortelse af den latinske frase *quod erat demonstrandum*, som betyder “således er det blevet påvist”

Det er ligetil at bruge et symbol eller en formulering efter eget valg til at repræsentere QED-symbolet. Kommandoen

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

kan bruges til at erstatte den standardmæssige hvide firkant med en sort firkant udskrevet af `$\blacksquare$`, parameteren inde i klammerne. Eller du kan skrive ordet QED eksplicit:

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

Her er et eksempel, der demonstrerer begge muligheder:

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Sætning}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{Introduktion}

\begin{lemma}
Givet to linjestykker, hvis længder er \(a\) og \(b\) henholdsvis,
findes der et reelt tal \(r\), så \(b=ra\).
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
For at bevise det ved modstrid, så prøv at antage, at udsagnet er falsk,
fortsæt derfra, og på et tidspunkt vil du nå frem til en modsigelse.
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
For at bevise det ved modstrid, så prøv at antage, at udsagnet er falsk,
fortsæt derfra, og på et tidspunkt vil du nå frem til en modsigelse.
\end{proof}
\end{document}
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Dette eksempel giver følgende output:

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/8d2d93a79a0d81a20b4dab91192098b9b16d51a8)

## Referencevejledning

***Sætningsstilarter***

* `definition` fed titel, romersk brødtekst. Almindeligt brugt i definitioner, betingelser, problemer og eksempler.
* `plain` fed titel, kursiv brødtekst. Almindeligt brugt i sætninger, lemmata, korollarer, påstande og formodninger.
* `remark` kursiv titel, romersk brødtekst. Almindeligt brugt i bemærkninger, noter, annoteringer, påstande, tilfælde, taksigelser og konklusioner.

## Yderligere læsning

For mere information se:

* [Matematiske udtryk](/latex/da/matematik/01-mathematical-expressions.md)
* [Miljøer](/latex/da/kommandoer/02-environments.md)
* [Display-stil i matematisk tilstand](/latex/da/matematik/10-display-style-in-math-mode.md)
* [Liste over græske bogstaver og matematiske symboler](/latex/da/matematik/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Matematiske skrifttyper](/latex/da/matematik/12-mathematical-fonts.md)
* [LaTeX-projekter med flere filer](/latex/da/dokumentstruktur/08-multi-file-latex-projects.md)
* [Krydshenvisninger til afsnit og ligninger](/latex/da/dokumentstruktur/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [Hyperlinks](/latex/da/dokumentstruktur/09-hyperlinks.md)
* [Den **amsthm** pakkedokumentation](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


---

# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.

## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:

```
GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/da/fag-specifikt/01-theorems-and-proofs.md?ask=<question>&goal=<endgoal>
```

`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.

The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.