> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/da/matematik/02-subscripts-and-superscripts.md).

# Indeks og eksponenter

## Introduktion

Brugen af hævede og sænkede indekser er meget almindelig i matematiske udtryk, der involverer eksponenter, indekser og i nogle særlige operatorer. Denne artikel forklarer, hvordan man skriver hævede og sænkede indekser i simple udtryk, integraler, summeringer og så videre.

Bestemte integraler er nogle af de mest almindelige matematiske udtryk, så lad os se et eksempel:

```latex
\[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \]
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Denne LaTeX-kode giver:

$$\int\limits\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$

Efter konvention oprettes hævede og sænkede indekser i LaTeX ved hjælp af tegnene `^` og `_` henholdsvis; for eksempel de eksponenter, der anvendes på $$x$$ og $$y$$ i kodeudsnittet ovenfor. Disse tegn kan også bruges med matematiske symboler, såsom integralet (`\int`) inkluderet i eksemplet ovenfor, hvor `_` bruges til at angive den nedre grænse, og `^` til den øvre grænse.

Kommandoen `\limits` ændrer den måde, grænserne vises på i integralet; hvis det ikke er til stede, vil grænserne stå ved siden af integralsymbolet i stedet for at være over og under:

```latex
\[ \int_0^1 x^2 + y^2 \ dx \]
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Denne LaTeX-kode giver:

$$\int\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$

## Flere detaljerede eksempler

Symbolerne `_` og `^` kan også kombineres i det samme udtryk, for eksempel:

```latex
\[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \]
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Denne LaTeX-kode giver:

$$a\_1^2 + a\_2^2 = a\_3^2$$

Hvis udtrykket indeholder lange hævede eller sænkede indekser, skal disse sættes i klammer, da LaTeX normalt anvender de matematiske kommandoer `^` og `_` kun på det følgende tegn:

```latex
\[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij}  \]
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+3\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Denne LaTeX-kode giver:

$$x^{2 \alpha} - 1 = y\_{ij} + y\_{ij}$$

Sænkede og hævede indekser kan indlejres og kombineres på forskellige måder. Når du indlejrer sænkede/hævede indekser, skal du dog huske, at hver kommando skal referere til et enkelt element; dette kan være et enkelt bogstav eller tal, som i eksemplerne ovenfor, eller et mere komplekst matematisk udtryk sat i klammer eller parenteser. For eksempel:

```latex
\[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}  \]
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Denne LaTeX-kode giver:

$$(a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}$$

## Operatorer, der bruger sænkede og hævede indekser

Nogle matematiske operatorer kan kræve sænkede og hævede indekser. De hyppigste tilfælde er integral- `\int` (se [introduktionen](#introduction)) og summations-(`\sum`) operatorerne, hvis grænser sættes præcist med sænkede og hævede indekser.

```latex
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
= \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \]
```

[Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%0A%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Denne LaTeX-kode giver:

$$\sum\_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod\_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

For andre ofte anvendte operatorer, der kræver sænkede/hævede indekser, se [referencevejledningen](#reference-guide).

## Åbn alle kodeudsnit i Overleaf

Brug linket nedenfor til at åbne alle eksemplerne ovenfor som et enkelt Overleaf-projekt:

```latex
Her er nogle eksempler på simpel brug af sænkede og hævede indekser:

\[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \]

\vspace{1cm}

Brug af hævede og sænkede indekser i det samme udtryk

\[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \]

\vspace{1cm}

Længere sænkede og hævede indekser:

\[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij}  \]

\vspace{1cm}

Indlejrede sænkede og hævede indekser

\[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \]

\vspace{1cm}

Eksempel på en matematisk ligning med sænkede og hævede indekser

\[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \]

\vspace{1cm}

Brug af kvadratrod

\[ \sqrt[4]{4ac} = \sqrt{4ac}\sqrt{4ac} \]
```

[Åbn alle eksemplerne ovenfor som et enkelt Overleaf-projekt.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+6\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BSubscripts+and+Superscripts%7D%0A%5Cauthor%7BExamples+from+Overleaf%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cmaketitle%0AHere+are+some+examples+of+simple+usage+of+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AUsing+superscript+and+subscripts+in+the+same+expression%0A%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ALonger+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ANested+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AExample+of+a+mathematical+equation+with+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ASquared+root+usage%0A%0A%5C%5B+%5Csqrt%5B4%5D%7B4ac%7D+%3D+%5Csqrt%7B4ac%7D%5Csqrt%7B4ac%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

## Referencevejledning

Yderligere eksempler og operatorer

| LaTeX-markup          | Vises som                                                                                                                                   |
| --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| `a_{n_i}`             | a n i {\displaystyle a\_{n\_{i}}} ![{\displaystyle a\_{n\_{i}}}](/files/7bdce360778aa37c4fcaadab576618d716931b10)                           |
| `\int_{i=1}^n`        | ∫ i = 1 n {\displaystyle \int \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \int \_{i=1}^{n}}](/files/323cdb011f6631c8e781358f007626de1328a25c)             |
| `\sum_{i=1}^{\infty}` | ∑ i = 1 ∞ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }} ![{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }}](/files/92bc5ecbf74f251813322a03007ce366f6f2dec0) |
| `\prod_{i=1}^n`       | ∏ i = 1 n {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}}](/files/cdd28b345d3fea10492796eaad15808606765aad)           |
| `\cup_{i=1}^n`        | ∪ i = 1 n {\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}}](/files/6f4831e1858ee8d268e378194b80c6d491507c73)             |
| `\cap_{i=1}^n`        | ∩ i = 1 n {\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}}](/files/96b84cbd470b3e9e18cdf18e0223fca54a7f88da)             |
| `\oint_{i=1}^n`       | ∮ i = 1 n {\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}}](/files/c2e8049fc79a6eb538e627783bbae373e92e9efd)           |
| `\coprod_{i=1}^n`     | ∐ i = 1 n {\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}}](/files/0c0b09aab43e79d254bde7ffa03ce8d33cf81ea4)       |

Der er også `bigcup` og `bigcap` kommandoer, der ligner `cup` og `cap` men de bruges til større udtryk.

## Yderligere læsning

For mere information, se

* [Liste over græske bogstaver og matematiske symboler](/latex/da/matematik/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Operatorer](/latex/da/matematik/07-operators.md)
* [Integraler, summer og grænser](/latex/da/matematik/09-integrals-sums-and-limits.md)
* [Matematiske skrifttyper](/latex/da/matematik/12-mathematical-fonts.md)
* [Firkantede klammer og parenteser](/latex/da/matematik/03-brackets-and-parentheses.md)
* [Den store, store liste over LaTeX-symboler](http://www.rpi.edu/dept/arc/training/latex/LaTeX_symbols.pdf) (en fuldstændig liste over tilgængelige matematiske symboler i **amssymb** pakken)
* [Den ikke helt korte introduktion til LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/)
* [Justering af ligninger med amsmath](/latex/da/matematik/06-aligning-equations-with-amsmath.md)


---

# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.

## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:

```
GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/da/matematik/02-subscripts-and-superscripts.md?ask=<question>&goal=<endgoal>
```

`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.

The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.