> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/da/matematik/05-fractions-and-binomials.md). # Brøker og binomialkoefficienter ## Introduktion Denne artikel forklarer, hvordan man sætter brøker og binomialkoefficienter, med udgangspunkt i følgende eksempel, som bruger [`amsmath` pakken](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Binomialkoefficienten, \(\binom{n}{k}\), er defineret ved udtrykket: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Den [`amsmath` pakken](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) indlæses ved at tilføje følgende linje til dokumentets præambel: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Her er det genererede output: ![Billede, der viser LaTeX-typografi af binomialkoefficienten](/files/9b0c9a8b428b0d5b3a49217d5dd258de490f3428) ## Visning af brøker Brøkers visuelle udseende ændrer sig afhængigt af, om de vises inline som en del af et afsnit, eller sættes som selvstændigt materiale på sin egen linje. Det næste eksempel demonstrerer disse ændringer i det visuelle udseende: ```latex \documentclass{article} % Brug geometry-pakken til at reducere % bredden af hjælpeartikelgrafik \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Brøker kan bruges inline i afsnitsteksten, for eksempel \(\frac{1}{2}\), eller vises på deres egen linje, som denne: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksempel giver følgende output: ![Demonstration af inline- og display-matematiktilstande i LaTeX](/files/f9b3482174c8f67eea80d3aedf87c7a35b49d17d) * **Bemærk**: Mere information om inline- og display-versioner af matematik kan findes i Overleaf-artiklen [Display-stil i matematisk tilstand](/latex/da/matematik/10-display-style-in-math-mode.md). Vores eksempelbrøk er sat med `\frac` kommandoen (`\frac{1}{2}`) som har den generelle form `\frac{*tæller*}{*nævner*}`. ## Brøker i tekststil Følgende eksempel demonstrerer typografien af brøker kun i tekst ved at bruge `\text{...}` kommandoen leveret af `amsmath` pakken. `\text{...}` kommandoen bruges til at forhindre, at LaTeX sætter teksten som almindeligt matematisk indhold. ```latex \documentclass{article} % Brug geometry-pakken til at reducere % bredden af hjælpeartikelgrafik \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% For \text{...}-kommandoen \begin{document} Vi bruger \texttt{amsmath}-pakkens kommando \verb|\text{...}| til at skabe brøker kun i tekst som dette: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Uden \verb|\text{...}|-kommandoen er resultatet ser sådan ud: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksempel giver følgende output: ![Tekstlige brøker](/files/166995b2fd89a38f000b537437b7d821f8182170) ## Størrelse og afstand i typograferet matematik Størrelsen og afstanden for matematisk materiale sat med LaTeX er [bestemt af algoritmer](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) som anvender størrelses- og placeringsdata, der findes i de skrifttyper, der bruges til at sætte matematik. Af og til kan det være nødvendigt eller ønskeligt at tilsidesætte de standard matematiske stilarter — størrelse og afstand for matelementer — som LaTeX vælger; et emne der diskuteres i Overleaf-hjælpeartiklen [Display-stil i matematisk tilstand](/latex/da/matematik/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Sammenfattende kan standardstilen(e), der bruges til at sætte matematik, ændres med følgende kommandoer: * `\textstyle`: anvender den stil, der bruges til matematik sat i afsnit; * `\displaystyle`: anvender den stil, der bruges til matematik sat på egne linjer; * `\scriptstyle`: anvender den stil, der bruges til sænkede og hævede indeks; * `\scriptscriptstyle`: anvender den stil, der bruges til andetordens sænkede eller hævede indeks; som demonstreres i det næste eksempel. ```latex \documentclass{article} % Brug geometry-pakken til at reducere % bredden af hjælpeartikelgrafik \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Brøker sat inden for et afsnit ser typisk sådan ud: \(\frac{3x}{2}\). Du kan tvinge \LaTeX{} til at bruge den større displaystil, såsom \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), hvilket også påvirker linjeafstanden. Størrelsen af matematik i et afsnit kan også reduceres: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) eller \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). For \verb|\scriptscriptstyle|-eksemplet bemærk reduktionen i afstanden: tegnene flyttes tættere på \textit{vinculum} (linjen, der adskiller tæller og nævner). På samme måde kan du ændre stilen for matematik, der normalt sættes i displaystil: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Åbn dette eksempel i Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksempel giver følgende output: ![Billede, der viser ændringer i LaTeX' standardmatematikstilarter](/files/6a5b4fdaac392a4eba0e6c74a54cd5eb9d245506) ## Fortsatte brøker Brøker kan indlejres for at opnå mere komplekse udtryk. Det andet par af brøker vist i det følgende eksempel bruger begge `\cfrac` kommandoen, der er designet specifikt til at producere fortsatte brøker. For at bruge `\cfrac` skal du indlæse [`amsmath` pakken](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) i dokumentets præambel. ```latex \documentclass{article} % Brug geometry-pakken til at reducere % bredden af hjælpeartikelgrafik \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Indlæs amsmath for at få adgang til \cfrac{...}{...}-kommandoen \usepackage{amsmath} \begin{document} Brøker kan indlejres, men i dette eksempel skal du bemærke, hvordan standardmatematisk stil, som bruges i nævneren, ikke giver ideelle resultater... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...så vi bruger \verb|\displaystyle| for at forbedre typografien: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Her er et eksempel, der bruger \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|-kommandoen: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Her er et andet eksempel, hentet fra \texttt{amsmath}-dokumentationen, som demonstrerer venstre og højre placering af tælleren ved brug af henholdsvis \verb|\cfrac[l]| og \verb|\cfrac[r]|: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksempel giver følgende output: ![Grafik, der demonstrerer indlejrede brøker sat i LaTeX](/files/653b989d8d30a9b03aa18d57448fa683c05141c3) ## Et sidste eksempel Dette eksempel demonstrerer en mere kompleks fortsat brøk: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Åbn dette eksempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksempel giver følgende output: ![Billede af avanceret fortsat brøk sat med LaTeX](/files/73f0cc15e95873966390950ff76759b3e41232c0) ## Yderligere læsning For mere information se: * [Matematiske udtryk](/latex/da/matematik/01-mathematical-expressions.md) * [Nedsænkede og hævede tegn](/latex/da/matematik/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Firkantede klammer og parenteser](/latex/da/matematik/03-brackets-and-parentheses.md) * [Justering af ligninger med amsmath](/latex/da/matematik/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operatorer](/latex/da/matematik/07-operators.md) * [Matematiske skrifttyper](/latex/da/matematik/12-mathematical-fonts.md) * [Den ikke helt korte introduktion til LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/da/matematik/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.