> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/de/fachspezifisch/01-theorems-and-proofs.md). # Theoreme und Beweise ## Einführung Mathematische Dokumente enthalten Elemente, die eine besondere Formatierung und Nummerierung erfordern, wie Theoreme, Definitionen, Propositionen, Bemerkungen, Korollare, Lemmata usw. Dieser Artikel erklärt, wie man diese Umgebungen in LaTeX definiert. Nummerierte Umgebungen in LaTeX können mithilfe des Befehls definiert werden `\newtheorem` der zwei Argumente entgegennimmt: ```latex \newtheorem{theorem}{Theorem} ``` * das erste ist der Name der definierten Umgebung * das zweite ist das Wort, das am Anfang der Umgebung in Fettschrift ausgegeben wird. Sobald diese neue Umgebung definiert ist, kann sie normal innerhalb des Dokuments verwendet werden, begrenzt durch `\begin{theorem}` und `\end{theorem}`. Ein Beispiel ist unten dargestellt: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Theorem} \begin{document} \section{Einleitung} Theoreme können leicht definiert werden: \begin{theorem} Sei \(f\) eine Funktion, deren Ableitung an jedem Punkt existiert, dann ist \(f\) eine stetige Funktion. \end{theorem} \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/72f6e824383424985e9696ca68615f2d7233aef2) ## Nummerierte Theoreme, Definitionen, Korollare und Lemmata Die Nummerierung der Umgebungen kann mithilfe von zwei zusätzlichen Parametern im `\newtheorem` Befehl gesteuert werden. Sehen wir uns das an: ```latex \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{corollary}{Korollar}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Einleitung} Theoreme können leicht definiert werden: \begin{theorem} Sei \(f\) eine Funktion, deren Ableitung an jedem Punkt existiert, dann ist \(f\) eine stetige Funktion. \end{theorem} \begin{theorem}[Satz des Pythagoras] \label{pythagorean} Dies ist ein Satz über rechtwinklige Dreiecke und lässt sich im nächsten equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} Und eine Folgerung aus Satz \ref{pythagorean} ist die Aussage im nächsten Korollar. \begin{corollary} Es gibt kein rechtwinkliges Rechteck, dessen Seiten 3 cm, 4 cm und 6 cm messen. \end{corollary} Auf Theoreme wie \ref{pythagorean} kann verwiesen werden, wenn ein Label vergeben wurde. \begin{lemma} Gegeben zwei Strecken, deren Längen jeweils \(a\) und \(b\) sind, gibt es eine reelle Zahl \(r\), so dass \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/6f645d4fe6d75f1dae2501d7ff19e817684dea80) Im Vorspann sind drei neue Umgebungen definiert. **\newtheorem{theorem}{Theorem}\[section]** Dies ist das in der Einleitung vorgestellte Beispiel, aber es hat den zusätzlichen Parameter \[section], der den Theorem-Zähler bei jedem neuen Abschnitt neu startet. **\newtheorem{corollary}{Korollar}\[theorem]** Es wird eine Umgebung namens corollary erstellt; der Zähler dieser neuen Umgebung wird jedes Mal zurückgesetzt, wenn eine neue theorem-Umgebung verwendet wird. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** In diesem Fall wird, obwohl eine neue Umgebung namens lemma erstellt wird, derselbe Zähler wie für die theorem-Umgebung verwendet. Einige berühmte Theoreme haben ihre eigenen Namen; in diesen Fällen können Sie den betreffenden Namen in eckigen Klammern im Öffnungsbefehl der Umgebung hinzufügen. Im Beispiel gibt die Zeile `\begin{theorem}[Satz des Pythagoras]` druckt „Satz des Pythagoras“ am Anfang des Absatzes aus. Wie bei vielen anderen nummerierten Elementen in LaTeX kann der Befehl `\label` verwendet werden, um auf theoremähnliche Umgebungen innerhalb des Dokuments zu verweisen. ## Unnummerierte theoremähnliche Umgebungen Es kann nützlich sein, eine unnummerierte theoremähnliche Umgebung zu haben, um Bemerkungen, Kommentare oder Beispiele zu einem mathematischen Dokument hinzuzufügen. Das `amsthm` Paket stellt diese Funktionalität bereit. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Bemerkung} \begin{document} Unnummerierte theoremähnliche Umgebungen sind ebenfalls möglich. \begin{remark} Diese Aussage ist wahr, vermute ich. \end{remark} \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/87e9e540a18a96551409ed6db76f1d52c06ecf24) Die Syntax des Befehls `\newtheorem*` ist dieselbe wie die Version ohne Sternchen, abgesehen von den Zählerparametern. In diesem Beispiel wird eine neue unnummerierte Umgebung namens `remark` erstellt. ## Theoremstile Eine wichtige Eigenschaft bei der Arbeit an einem mathematischen Dokument ist, beispielsweise Definitionen anhand ihrer Formatierung leicht von Theoremen unterscheiden zu können. Das Paket `amsthm` stellt spezielle Befehle bereit, um dies zu erreichen. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Bemerkung} \begin{document} \section{Einleitung} Unnummerierte theoremähnliche Umgebungen sind ebenfalls möglich. \begin{remark} Diese Aussage ist wahr, vermute ich. \end{remark} Und das folgende ist eine etwas informelle Definition \begin{definition}[Fibration] Eine Fibration ist eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen, die für jeden Raum \(X\) die Homotopieliftungseigenschaft besitzt. \end{definition} \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/cdbfb99e451229dc9498bded01801475551ca6bf) Der Befehl `\theoremstyle{ }` legt die Formatierung für die nummerierte Umgebung fest, die direkt darunter definiert wird. Im obigen Beispiel werden die Stile *remark* und *definition* verwendet. Beachten Sie, dass die Bemerkung jetzt kursiv gesetzt ist und der Text in der Umgebung die normale (Roman-)Schrift verwendet; die Definition hingegen verwendet für den Text innerhalb ebenfalls die Roman-Schrift, aber das Wort „Definition“ wird in Fettschrift ausgegeben. Siehe [Referenzleitfaden](#reference-guide) für weitere Theoremstile. ## Beweise Beweise sind der Kern mathematischer Arbeiten und Bücher, und es ist üblich, sie visuell vom normalen Text im Dokument abzuheben. Das `amsthm` Paket stellt die Umgebung `proof` dafür bereit. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Einleitung} \begin{lemma} Gegeben zwei Strecken, deren Längen jeweils \(a\) und \(b\) sind, gibt es eine reelle Zahl \(r\), so dass \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Um es per Widerspruch zu beweisen, versuchen Sie anzunehmen, dass die Aussage falsch ist, fahren Sie von dort aus fort, und an einem Punkt werden Sie zu einem Widerspruch gelangen. \end{proof} \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/603122fd43186617e4e32ad0f3ee80ad74578fb3) Das Wort `Beweis` ist kursiv gesetzt, und es gibt etwas zusätzlichen Abstand; außerdem wird ein spezielles Symbol verwendet, um das Ende des Beweises zu markieren. Dieses Symbol kann leicht geändert werden; wie das geht, erfahren Sie im nächsten Abschnitt. ## Ändern des QED-Symbols Das Symbol, das am Ende eines Beweises ausgegeben wird, heißt „QED-Symbol“. Um das [Bedeutung von QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) aus Wikipedia zu zitieren: > QED ist ein Initialwort des lateinischen Ausdrucks *quod erat demonstrandum*, was bedeutet: „damit ist es bewiesen worden“ Es ist unkompliziert, ein Symbol oder eine Formulierung Ihrer Wahl zu verwenden, um das QED-Symbol darzustellen. Der Befehl ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` kann verwendet werden, um das standardmäßige weiße Quadrat durch ein schwarzes Quadrat zu ersetzen, das von `$\blacksquare$`, dem Parameter innerhalb der geschweiften Klammern, ausgegeben wird. Oder Sie können das Wort QED ausdrücklich schreiben: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Hier ist ein Beispiel, das beide Optionen demonstriert: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Einleitung} \begin{lemma} Gegeben zwei Strecken, deren Längen jeweils \(a\) und \(b\) sind, gibt es eine reelle Zahl \(r\), so dass \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Um es per Widerspruch zu beweisen, versuchen Sie anzunehmen, dass die Aussage falsch ist, fahren Sie von dort aus fort, und an einem Punkt werden Sie zu einem Widerspruch gelangen. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Um es per Widerspruch zu beweisen, versuchen Sie anzunehmen, dass die Aussage falsch ist, fahren Sie von dort aus fort, und an einem Punkt werden Sie zu einem Widerspruch gelangen. \end{proof} \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/059d3b45726e6016e44c0d156773a87bbd3aaf43) ## Referenzhandbuch ***Theoremstile*** * `definition` Fettschrift im Titel, Roman-Schrift im Haupttext. Wird häufig in Definitionen, Bedingungen, Problemen und Beispielen verwendet. * `plain` Fettschrift im Titel, kursiver Haupttext. Wird häufig in Theoremen, Lemmata, Korollaren, Propositionen und Vermutungen verwendet. * `remark` Kursiver Titel, Roman-Schrift im Haupttext. Wird häufig in Bemerkungen, Notizen, Anmerkungen, Behauptungen, Fällen, Danksagungen und Schlussfolgerungen verwendet. ## Weiterführende Lektüre Weitere Informationen finden Sie unter: * [Mathematische Ausdrücke](/latex/de/mathematik/01-mathematical-expressions.md) * [Umgebungen](/latex/de/befehle/02-environments.md) * [Darstellungsstil im Mathematikmodus](/latex/de/mathematik/10-display-style-in-math-mode.md) * [Liste der griechischen Buchstaben und mathematischen Symbole](/latex/de/mathematik/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Mathematische Schriftarten](/latex/de/mathematik/12-mathematical-fonts.md) * [Mehrdatei-LaTeX-Projekte](/latex/de/dokumentstruktur/08-multi-file-latex-projects.md) * [Querverweise auf Abschnitte und Gleichungen](/latex/de/dokumentstruktur/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hyperlinks](/latex/de/dokumentstruktur/09-hyperlinks.md) * [Die **amsthm** Paketdokumentation](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/de/fachspezifisch/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.