> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/de/mathematik/02-subscripts-and-superscripts.md). # Tief- und Hochstellungen ## Einführung Die Verwendung von Hoch- und Tiefstellungen ist in mathematischen Ausdrücken mit Exponenten, Indizes und einigen speziellen Operatoren sehr verbreitet. Dieser Artikel erklärt, wie man Hoch- und Tiefstellungen in einfachen Ausdrücken, Integralen, Summen und so weiter schreibt. Bestimmte Integrale gehören zu den häufigsten mathematischen Ausdrücken, also sehen wir uns ein Beispiel an: ```latex \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieser LaTeX-Code erzeugt: $$\int\limits\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ Nach Konvention werden Hoch- und Tiefstellungen in LaTeX mit den Zeichen `^` und `_` bzw.; zum Beispiel die Exponenten, die auf $$x$$ und $$y$$ in dem obigen Codeausschnitt angewendet werden. Diese Zeichen können auch mit mathematischen Symbolen verwendet werden, wie etwa dem Integral (`\int`) im obigen Beispiel enthalten, wobei `_` verwendet wird, um die untere Grenze festzulegen, und das `^` für die obere Grenze. Der Befehl `\limits` ändert die Art, wie die Grenzen im Integral dargestellt werden; ist es nicht vorhanden, stehen die Grenzen neben dem Integralsymbol statt darüber und darunter: ```latex \[ \int_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieser LaTeX-Code erzeugt: $$\int\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ ## Ausführlichere Beispiele Die Symbole `_` und `^` können auch im selben Ausdruck kombiniert werden, zum Beispiel: ```latex \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieser LaTeX-Code erzeugt: $$a\_1^2 + a\_2^2 = a\_3^2$$ Wenn der Ausdruck lange Hoch- oder Tiefstellungen enthält, müssen diese in geschweifte Klammern gesetzt werden, da LaTeX die mathematischen Befehle normalerweise `^` und `_` nur auf das folgende Zeichen anwendet: ```latex \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+3\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieser LaTeX-Code erzeugt: $$x^{2 \alpha} - 1 = y\_{ij} + y\_{ij}$$ Tief- und Hochstellungen können auf verschiedene Weise verschachtelt und kombiniert werden. Beim Verschachteln von Tief- und Hochstellungen sollte man jedoch daran denken, dass sich jeder Befehl auf ein einzelnes Element beziehen muss; dies kann ein einzelner Buchstabe oder eine Zahl sein, wie in den obigen Beispielen, oder ein komplexerer mathematischer Ausdruck, der in geschweifte Klammern oder eckige Klammern gesetzt wird. Zum Beispiel: ```latex \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieser LaTeX-Code erzeugt: $$(a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}$$ ## Operatoren mit Tief- und Hochstellungen Einige mathematische Operatoren benötigen Tief- und Hochstellungen. Die häufigsten Fälle sind die des Integrals `\int` (siehe den [Einleitung](#introduction)) und des Summenoperators (`\sum`) dessen Grenzen genau mit Tief- und Hochstellungen gesetzt werden. ```latex \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%0A%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieser LaTeX-Code erzeugt: $$\sum\_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod\_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$$ Für andere häufig verwendete Operatoren, die Tief- und Hochstellungen erfordern, siehe die [Referenzleitfaden](#reference-guide). ## Alle Codefragmente in Overleaf öffnen Verwenden Sie den unten bereitgestellten Link, um alle obigen Beispiele als ein einziges Overleaf-Projekt zu öffnen: ```latex Hier sind einige Beispiele für die einfache Verwendung von Tief- und Hochstellungen: \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] \vspace{1cm} Verwendung von Hoch- und Tiefstellungen im selben Ausdruck \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] \vspace{1cm} Längere Tief- und Hochstellungen: \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] \vspace{1cm} Verschachtelte Tief- und Hochstellungen \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] \vspace{1cm} Beispiel einer mathematischen Gleichung mit Tief- und Hochstellungen \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] \vspace{1cm} Verwendung von Wurzeln \[ \sqrt[4]{4ac} = \sqrt{4ac}\sqrt{4ac} \] ``` [Öffnen Sie alle obigen Beispiele als ein einziges Overleaf-Projekt.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+6\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BSubscripts+and+Superscripts%7D%0A%5Cauthor%7BExamples+from+Overleaf%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cmaketitle%0AHere+are+some+examples+of+simple+usage+of+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AUsing+superscript+and+subscripts+in+the+same+expression%0A%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ALonger+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ANested+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AExample+of+a+mathematical+equation+with+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ASquared+root+usage%0A%0A%5C%5B+%5Csqrt%5B4%5D%7B4ac%7D+%3D+%5Csqrt%7B4ac%7D%5Csqrt%7B4ac%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) ## Referenzhandbuch Weitere Beispiele und Operatoren | LaTeX-Auszeichnung | Wird dargestellt als | | --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | `a_{n_i}` | a n i {\displaystyle a\_{n\_{i}}} ![{\displaystyle a\_{n\_{i}}}](/files/4c2e15d58197ad2d280127947e1a08015ff4fd33) | | `\int_{i=1}^n` | ∫ i = 1 n {\displaystyle \int \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \int \_{i=1}^{n}}](/files/edcd87ac78bd032fc4c6e328096b62c4ff9adcc4) | | `\sum_{i=1}^{\infty}` | ∑ i = 1 ∞ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }} ![{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }}](/files/e2da329cbc0021f38fb71678f987ebc3ea861332) | | `\prod_{i=1}^n` | ∏ i = 1 n {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}}](/files/80847fc5d07db84ae72a64870b85e562a7497f5e) | | `\cup_{i=1}^n` | ∪ i = 1 n {\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}}](/files/d22d96d50d29cf6c1465e45674b88b6e5190a441) | | `\cap_{i=1}^n` | ∩ i = 1 n {\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}}](/files/d1e70b936ca282bd841b9b6a6c5df433a033af67) | | `\oint_{i=1}^n` | ∮ i = 1 n {\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}}](/files/052389ae848f878525759d2b9f354546cc27e2d3) | | `\coprod_{i=1}^n` | ∐ i = 1 n {\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}}](/files/847948ac7c176d9f7a30d4ad036b384c0e723eb2) | Es gibt auch `bigcup` und `bigcap` Befehle, die ähnlich sind wie `cup` und `cap` aber diese werden für größere Ausdrücke verwendet. ## Weiterführende Lektüre Weitere Informationen finden Sie unter * [Liste der griechischen Buchstaben und mathematischen Symbole](/latex/de/mathematik/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Operatoren](/latex/de/mathematik/07-operators.md) * [Integrale, Summen und Grenzwerte](/latex/de/mathematik/09-integrals-sums-and-limits.md) * [Mathematische Schriftarten](/latex/de/mathematik/12-mathematical-fonts.md) * [Klammern und runde Klammern](/latex/de/mathematik/03-brackets-and-parentheses.md) * [Die große, umfangreiche Liste der LaTeX-Symbole](http://www.rpi.edu/dept/arc/training/latex/LaTeX_symbols.pdf) (eine vollständige Liste der verfügbaren mathematischen Symbole im **amssymb** Paket) * [Die nicht ganz so kurze Einführung in LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) * [Gleichungen mit amsmath ausrichten](/latex/de/mathematik/06-aligning-equations-with-amsmath.md) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/de/mathematik/02-subscripts-and-superscripts.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. 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