> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/de/mathematik/05-fractions-and-binomials.md). # Brüche und Binomialkoeffizienten ## Einführung Dieser Artikel erklärt, wie man Brüche und Binomialkoeffizienten setzt, beginnend mit dem folgenden Beispiel, das den [`amsmath` Paket](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Der Binomialkoeffizient, \(\binom{n}{k}\), ist durch den Ausdruck definiert: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Die [`amsmath` Paket](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) wird geladen, indem die folgende Zeile in die Dokumentpräambel eingefügt wird: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Hier ist die erzeugte Ausgabe: ![Bild, das den LaTeX-Satz des Binomialkoeffizienten zeigt](/files/c3cf65d9b9956b41c6d8e795bc00ef7ac05de587) ## Brüche darstellen Das visuelle Erscheinungsbild von Brüchen ändert sich je nachdem, ob sie im Fließtext, als Teil eines Absatzes oder als eigenständig auf einer eigenen Zeile gesetztes Material erscheinen. Das nächste Beispiel veranschaulicht diese Änderungen des visuellen Erscheinungsbilds: ```latex \documentclass{article} % Verwendung des geometry-Pakets, um % die Breite der Grafiken des Hilfsartikels zu verringern \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Brüche können inline innerhalb des Absatztexts verwendet werden, zum Beispiel \(\frac{1}{2}\), oder auf einer eigenen Zeile dargestellt werden, wie dieses: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![Demonstration von Inline- und Display-Mathematik-Modi in LaTeX](/files/b5c755725d7f8e1f88b7a8b8a361750eca1e7bbb) * **Hinweis**: Weitere Informationen zu Inline- und Display-Varianten der Mathematik finden Sie im Overleaf-Artikel [Darstellungsstil im Mathematikmodus](/latex/de/mathematik/10-display-style-in-math-mode.md). Unser Beispielbruch wird mit dem `\frac` Befehl (`\frac{1}{2}`) gesetzt, der die allgemeine Form hat `\frac{*Zähler*}{*Nenner*}`. ## Brüche im Textstil Das folgende Beispiel demonstriert das Setzen von reinen Textbrüchen mit dem `\text{...}` vom `amsmath` Paket bereitgestellten Befehl. Der `\text{...}` Befehl wird verwendet, um zu verhindern, dass LaTeX den Text als normalen mathematischen Inhalt setzt. ```latex \documentclass{article} % Verwendung des geometry-Pakets, um % die Breite der Grafiken des Hilfsartikels zu verringern \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Für den \text{...}-Befehl \begin{document} Wir verwenden den Paketbefehl \texttt{amsmath} \verb|\text{...}|, um reine Textbrüche zu erzeugen es so verwenden: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Ohne den Befehl \verb|\text{...}| sieht das Ergebnis so aus: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![Textuelle Brüche](/files/842022f6149260ca19c1a6caaa1eab176789895e) ## Größe und Abstand innerhalb gesetzter Mathematik Die Größe und der Abstand von mathematischem Material, das von LaTeX gesetzt wird, werden [durch Algorithmen bestimmt](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) die Größen- und Positionierungsdaten anwenden, die in den Schriftarten enthalten sind, die zum Satz von Mathematik verwendet werden. Gelegentlich kann es notwendig oder wünschenswert sein, die von LaTeX gewählten standardmäßigen mathematischen Stile – Größe und Abstand von Mathe-Elementen – zu überschreiben, ein Thema, das im Overleaf-Hilfsartikel behandelt wird [Darstellungsstil im Mathematikmodus](/latex/de/mathematik/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Zusammenfassend können die standardmäßigen Stile, die zum Setzen von Mathematik verwendet werden, durch die folgenden Befehle geändert werden: * `\textstyle`: wendet den Stil an, der für in Absätzen gesetzte Mathematik verwendet wird; * `\displaystyle`: wendet den Stil an, der für auf eigenen Zeilen gesetzte Mathematik verwendet wird; * `\scriptstyle`: wendet den Stil an, der für tiefgestellte oder hochgestellte Zeichen verwendet wird; * `\scriptscriptstyle`: wendet den Stil an, der für Unter- oder Hochstellungen zweiter Ordnung verwendet wird; die im nächsten Beispiel demonstriert werden. ```latex \documentclass{article} % Verwendung des geometry-Pakets, um % die Breite der Grafiken des Hilfsartikels zu verringern \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Brüche, die innerhalb eines Absatzes gesetzt werden, sehen typischerweise so aus: \(\frac{3x}{2}\). Sie können \LaTeX{} zwingen, den größeren Display-Stil zu verwenden, etwa \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), was sich auch auf den Zeilenabstand auswirkt. Die Größe der Mathematik in einem Absatz kann ebenfalls verkleinert werden: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) oder \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). Beim Beispiel mit \verb|\scriptscriptstyle| beachten Sie die Verringerung des Abstands: Die Zeichen rücken näher an den \textit{Vinculum} (die Linie, die Zähler und Nenner trennt). Ebenso können Sie den Stil der normalerweise im Display-Stil gesetzten Mathematik ändern: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{und}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{und}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Öffnen Sie dieses Beispiel in Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![Bild, das Änderungen an den standardmäßigen LaTeX-Mathematikstilen zeigt](/files/125de6836dc620c7663bd091ebb286026f566306) ## Kettenbrüche Brüche können verschachtelt werden, um komplexere Ausdrücke zu erhalten. Das zweite Bruchpaar im folgenden Beispiel verwendet beide den `\cfrac` Befehl, der speziell dafür entwickelt wurde, Kettenbrüche zu erzeugen. Um `\cfrac` zu verwenden, müssen Sie das [`amsmath` Paket](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) in der Dokumentpräambel laden. ```latex \documentclass{article} % Verwendung des geometry-Pakets, um % die Breite der Grafiken des Hilfsartikels zu verringern \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Laden Sie amsmath, um auf den \cfrac{...}{...}-Befehl zugreifen zu können \usepackage{amsmath} \begin{document} Brüche können verschachtelt werden, aber beachten Sie in diesem Beispiel, dass die standardmäßigen Mathematikstile, wie sie im Nenner verwendet werden, keine idealen Ergebnisse liefern... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...daher verwenden wir \verb|\displaystyle|, um den Satz zu verbessern: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Hier ist ein Beispiel, das den \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|-Befehl verwendet: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Hier ist ein weiteres Beispiel, abgeleitet aus der \texttt{amsmath}-Dokumentation, das die linke und rechte Platzierung des Zählers mittels \verb|\cfrac[l]| beziehungsweise \verb|\cfrac[r]| demonstriert: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![Grafik, die verschachtelte Brüche demonstriert, gesetzt in LaTeX](/files/9d6f8a6490529cd97439499f29a0d2fbb45a7a44) ## Ein abschließendes Beispiel Dieses Beispiel demonstriert einen komplexeren Kettenbruch: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Dieses Beispiel in Overleaf öffnen.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dieses Beispiel erzeugt die folgende Ausgabe: ![Bild eines fortgeschrittenen Kettenbruchs, gesetzt von LaTeX](/files/7328a2d3ab107fafd2c56b54c6b4c1ee60491a88) ## Weiterführende Lektüre Weitere Informationen finden Sie unter: * [Mathematische Ausdrücke](/latex/de/mathematik/01-mathematical-expressions.md) * [Tief- und Hochstellungen](/latex/de/mathematik/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Klammern und runde Klammern](/latex/de/mathematik/03-brackets-and-parentheses.md) * [Gleichungen mit amsmath ausrichten](/latex/de/mathematik/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operatoren](/latex/de/mathematik/07-operators.md) * [Mathematische Schriftarten](/latex/de/mathematik/12-mathematical-fonts.md) * [Die nicht ganz so kurze Einführung in LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/de/mathematik/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.