> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/el/eidiko-pedio/01-theorems-and-proofs.md).

# Θεωρήματα και αποδείξεις

## Εισαγωγή

Τα μαθηματικά έγγραφα περιλαμβάνουν στοιχεία που απαιτούν ειδική μορφοποίηση και αρίθμηση, όπως θεωρήματα, ορισμούς, προτάσεις, παρατηρήσεις, πορίσματα, λήμματα και ούτω καθεξής. Αυτό το άρθρο εξηγεί πώς να ορίσετε αυτά τα περιβάλλοντα στο LaTeX.

Τα αριθμημένα περιβάλλοντα στο LaTeX μπορούν να οριστούν με την εντολή `\newtheorem` η οποία δέχεται δύο ορίσματα:

```latex
\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}
```

* το πρώτο είναι το όνομα του περιβάλλοντος που ορίζεται
* το δεύτερο είναι η λέξη που θα εκτυπωθεί, με έντονη γραμματοσειρά, στην αρχή του περιβάλλοντος.

Μόλις οριστεί αυτό το νέο περιβάλλον, μπορεί να χρησιμοποιηθεί κανονικά μέσα στο έγγραφο, οριοθετημένο από `\begin{theorem}` και `\end{theorem}`. Ένα παράδειγμα παρουσιάζεται παρακάτω:

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}
\begin{document}

\section{Εισαγωγή}
Τα θεωρήματα μπορούν εύκολα να οριστούν:

\begin{theorem}
Έστω ότι η \(f\) είναι μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος υπάρχει σε κάθε σημείο, τότε η \(f\)
είναι μια συνεχής συνάρτηση.
\end{theorem}
\end{document}
```

[Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/b78093cd500480bab7b20e0ee15cd66d381dc82d)

## Αριθμημένα θεωρήματα, ορισμοί, πορίσματα και λήμματα

Η αρίθμηση των περιβαλλόντων μπορεί να ελέγχεται μέσω δύο πρόσθετων παραμέτρων στην `\newtheorem` εντολή. Ας δούμε:

```latex
\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section]
\newtheorem{corollary}{Πόρισμα}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα}

\begin{document}
\section{Εισαγωγή}
Τα θεωρήματα μπορούν εύκολα να οριστούν:

\begin{theorem}
Έστω ότι η \(f\) είναι μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος υπάρχει σε κάθε σημείο, τότε η \(f\) είναι
μια συνεχής συνάρτηση.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Πυθαγόρειο θεώρημα]
\label{pythagorean}
Αυτό είναι ένα θεώρημα για ορθογώνια τρίγωνα και μπορεί να συνοψιστεί στην επόμενη
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

Και συνέπεια του θεωρήματος \ref{pythagorean} είναι η πρόταση στο επόμενο
πόρισμα.

\begin{corollary}
Δεν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές 3cm, 4cm και 6cm.
\end{corollary}

Μπορείτε να παραπέμπετε σε θεωρήματα όπως το \ref{pythagorean} όταν έχει αντιστοιχιστεί μια ετικέτα.

\begin{lemma}
Δοθέντων δύο ευθύγραμμων τμημάτων των οποίων τα μήκη είναι \(a\) και \(b\) αντίστοιχα, υπάρχει ένας
πραγματικός αριθμός \(r\) τέτοιος ώστε \(b=ra\).
\end{lemma}
```

[Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/33e4a90cc4ae6c87c86c4d8bacc123f56c2c5848)

Υπάρχουν τρία νέα περιβάλλοντα που ορίζονται στο προοίμιο.

**\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}\[section]**

Αυτό είναι το παράδειγμα που παρουσιάζεται στην εισαγωγή, αλλά έχει την πρόσθετη παράμετρο \[section] που επανεκκινεί τον μετρητή των θεωρημάτων σε κάθε νέα ενότητα.

**\newtheorem{corollary}{Πόρισμα}\[theorem]**

Δημιουργείται ένα περιβάλλον με το όνομα corollary· ο μετρητής αυτού του νέου περιβάλλοντος θα μηδενίζεται κάθε φορά που χρησιμοποιείται ένα νέο περιβάλλον θεωρήματος.

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Λήμμα}**

Σε αυτή την περίπτωση, παρόλο που δημιουργείται ένα νέο περιβάλλον με το όνομα lemma, θα χρησιμοποιεί τον ίδιο μετρητή με το περιβάλλον θεωρήματος.

Ορισμένα διάσημα θεωρήματα έχουν τα δικά τους ονόματα· για αυτές τις περιπτώσεις μπορείτε να προσθέσετε το εν λόγω όνομα μέσα σε αγκύλες στην εντολή ανοίγματος του περιβάλλοντος. Στο παράδειγμα η γραμμή `\begin{theorem}[Πυθαγόρειο θεώρημα]` εμφανίζει «Πυθαγόρειο θεώρημα» στην αρχή της παραγράφου.

Όπως και με πολλά άλλα αριθμημένα στοιχεία στο LaTeX, η εντολή `\label` μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραπέμπει σε περιβάλλοντα τύπου θεωρήματος μέσα στο έγγραφο.

## Μη αριθμημένα περιβάλλοντα τύπου θεωρήματος

Μπορεί να είναι χρήσιμο να υπάρχει ένα μη αριθμημένο περιβάλλον τύπου θεωρήματος για να προστίθενται παρατηρήσεις, σχόλια ή παραδείγματα σε ένα μαθηματικό έγγραφο. Το `amsthm` πακέτο παρέχει αυτή τη λειτουργικότητα.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Παρατήρηση}

\begin{document}
Είναι επίσης δυνατά μη αριθμημένα περιβάλλοντα τύπου θεωρήματος.

\begin{remark}
Αυτή η πρόταση είναι αληθής, νομίζω.
\end{remark}
\end{document}
```

[Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/3948aa357fec170e73f91c8686402c496dce4158)

Η σύνταξη της εντολής `\newtheorem*` είναι η ίδια με την έκδοση χωρίς αστερίσκο, εκτός από τις παραμέτρους του μετρητή. Σε αυτό το παράδειγμα δημιουργείται ένα νέο μη αριθμημένο περιβάλλον με το όνομα `παρατήρηση` δημιουργείται.

## Στυλ θεωρημάτων

Ένα χαρακτηριστικό που είναι σημαντικό όταν εργάζεστε σε ένα μαθηματικό έγγραφο είναι να διακρίνετε εύκολα, ας πούμε, τους ορισμούς από τα θεωρήματα μέσω της μορφοποίησής τους. Το πακέτο `amsthm` παρέχει ειδικές εντολές για να το επιτύχει αυτό.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Ορισμός}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Παρατήρηση}

\begin{document}
\section{Εισαγωγή}
Είναι επίσης δυνατά μη αριθμημένα περιβάλλοντα τύπου θεωρήματος.

\begin{remark}
Αυτή η πρόταση είναι αληθής, νομίζω.
\end{remark}

Και η επόμενη είναι ένας κάπως ανεπίσημος ορισμός

\begin{definition}[Ινοποίηση]
Μια ινοποίηση είναι μια απεικόνιση μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων που έχει την ιδιότητα ανύψωσης ομοτοπίας για κάθε χώρο \(X\).
\end{definition}
\end{document}
```

[Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/63f655ad46758ac8f40e7fcca323f663c2a2566b)

Η εντολή `\theoremstyle{ }` καθορίζει το στυλ για το αριθμημένο περιβάλλον που ορίζεται ακριβώς από κάτω του. Στο παραπάνω παράδειγμα χρησιμοποιούνται τα στυλ *παρατήρηση* και *definition* χρησιμοποιούνται. Παρατηρήστε ότι η παρατήρηση είναι τώρα σε πλάγια γραφή και το κείμενο στο περιβάλλον χρησιμοποιεί κανονική (ρωμαϊκή) γραμματοσειρά, ενώ ο ορισμός από την άλλη πλευρά χρησιμοποιεί επίσης ρωμαϊκή γραμματοσειρά για το κείμενο στο εσωτερικό του, αλλά η λέξη "Definition" εκτυπώνεται με έντονη γραμματοσειρά.

Δείτε τα [οδηγό αναφοράς](#reference-guide) για περισσότερα στυλ θεωρημάτων.

## Αποδείξεις

Οι αποδείξεις είναι ο πυρήνας των μαθηματικών άρθρων και βιβλίων και είναι σύνηθες να διατηρούνται οπτικά ξεχωριστές από το κανονικό κείμενο στο έγγραφο. Το `amsthm` πακέτο παρέχει το περιβάλλον `απόδειξη` για αυτό.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα}

\begin{document}
\section{Εισαγωγή}
\begin{lemma}
Δοθέντων δύο ευθύγραμμων τμημάτων των οποίων τα μήκη είναι \(a\) και \(b\) αντίστοιχα, υπάρχει ένας
πραγματικός αριθμός \(r\) τέτοιος ώστε \(b=ra\).
\end{lemma}

\begin{proof}
Για να το αποδείξετε με άτοπο, δοκιμάστε να υποθέσετε ότι η πρόταση είναι ψευδής,
συνεχίστε από εκεί και κάποια στιγμή θα καταλήξετε σε αντίφαση.
\end{proof}
\end{document}
```

[Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/24b155514b2ffbdc7633169f6ae1e182b6deab41)

Η λέξη `Απόδειξη` είναι σε πλάγια γραφή και υπάρχει επιπλέον διάστιχο· επίσης χρησιμοποιείται ένα ειδικό σύμβολο για να σηματοδοτεί το τέλος της απόδειξης. Αυτό το σύμβολο μπορεί να αλλάξει εύκολα· για να μάθετε πώς, δείτε την επόμενη ενότητα.

## Αλλαγή του συμβόλου QED

Το σύμβολο που εκτυπώνεται στο τέλος μιας απόδειξης ονομάζεται «σύμβολο QED». Για να παραθέσουμε τον [σημασία του QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) από τη Wikipedia:

> Το QED είναι ακρωνύμιο της λατινικής φράσης *quod erat demonstrandum*, που σημαίνει «έτσι έχει αποδειχθεί»

Είναι απλό να χρησιμοποιήσετε ένα σύμβολο ή διατύπωση της επιλογής σας για να αναπαραστήσετε το σύμβολο QED. Η εντολή

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αντικαταστήσει το προεπιλεγμένο λευκό τετράγωνο με ένα μαύρο τετράγωνο που εκτυπώνεται από `$\blacksquare$`, την παράμετρο μέσα στα άγκιστρα. Ή μπορείτε να γράψετε τη λέξη QED ρητά:

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

Ακολουθεί ένα παράδειγμα που παρουσιάζει και τις δύο επιλογές:

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Θεώρημα}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Λήμμα}

\begin{document}
\section{Εισαγωγή}

\begin{lemma}
Δοθέντων δύο ευθύγραμμων τμημάτων των οποίων τα μήκη είναι \(a\) και \(b\) αντίστοιχα, υπάρχει ένας
πραγματικός αριθμός \(r\) τέτοιος ώστε \(b=ra\).
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
Για να το αποδείξετε με άτοπο, δοκιμάστε να υποθέσετε ότι η πρόταση είναι ψευδής,
συνεχίστε από εκεί και κάποια στιγμή θα καταλήξετε σε αντίφαση.
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
Για να το αποδείξετε με άτοπο, δοκιμάστε να υποθέσετε ότι η πρόταση είναι ψευδής,
συνεχίστε από εκεί και κάποια στιγμή θα καταλήξετε σε αντίφαση.
\end{proof}
\end{document}
```

[Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/81796155db3ace024a01c8e299eb8d70a382096c)

## Οδηγός αναφοράς

***Στυλ θεωρημάτων***

* `definition` τίτλος με έντονη γραφή, σώμα σε ρωμαϊκή γραμματοσειρά. Συνήθως χρησιμοποιείται σε ορισμούς, συνθήκες, προβλήματα και παραδείγματα.
* `plain` τίτλος με έντονη γραφή, σώμα με πλάγια γραφή. Συνήθως χρησιμοποιείται σε θεωρήματα, λήμματα, πορίσματα, προτάσεις και εικασίες.
* `παρατήρηση` τίτλος με πλάγια γραφή, σώμα με ρωμαϊκή γραμματοσειρά. Συνήθως χρησιμοποιείται σε παρατηρήσεις, σημειώσεις, σχολιασμούς, ισχυρισμούς, περιπτώσεις, ευχαριστίες και συμπεράσματα.

## Περαιτέρω ανάγνωση

Για περισσότερες πληροφορίες δείτε:

* [Μαθηματικές εκφράσεις](/latex/el/mathimatika/01-mathematical-expressions.md)
* [Περιβάλλοντα](/latex/el/entoles/02-environments.md)
* [Στυλ εμφάνισης στη μαθηματική λειτουργία](/latex/el/mathimatika/10-display-style-in-math-mode.md)
* [Κατάλογος ελληνικών γραμμάτων και μαθηματικών συμβόλων](/latex/el/mathimatika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Μαθηματικές γραμματοσειρές](/latex/el/mathimatika/12-mathematical-fonts.md)
* [Έργα LaTeX πολλών αρχείων](/latex/el/domi-eggrafoy/08-multi-file-latex-projects.md)
* [Διασταυρούμενη παραπομπή σε ενότητες και εξισώσεις](/latex/el/domi-eggrafoy/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [Υπερσύνδεσμοι](/latex/el/domi-eggrafoy/09-hyperlinks.md)
* [Η **amsthm** τεκμηρίωση πακέτου](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


---

# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.

## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:

```
GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/el/eidiko-pedio/01-theorems-and-proofs.md?ask=<question>&goal=<endgoal>
```

`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.

The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.