> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/el/mathimatika/05-fractions-and-binomials.md). # Κλάσματα και διωνυμικοί συντελεστές ## Εισαγωγή Αυτό το άρθρο εξηγεί πώς να στοιχειοθετείτε κλάσματα και διωνυμικούς συντελεστές, ξεκινώντας με το ακόλουθο παράδειγμα που χρησιμοποιεί το [`amsmath` πακέτο](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Ο διωνυμικός συντελεστής, \(\binom{n}{k}\), ορίζεται από την έκφραση: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Η [`amsmath` πακέτο](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) φορτώνεται προσθέτοντας την ακόλουθη γραμμή στην προμετωπίδα του εγγράφου: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Ακολουθεί η παραγόμενη έξοδος: ![Εικόνα που δείχνει τη στοιχειοθεσία LaTeX του διωνυμικού συντελεστή](/files/3067fc68bf732c9ce99ff5a29bc19cb8419ed010) ## Εμφάνιση κλασμάτων Η οπτική εμφάνιση των κλασμάτων θα αλλάξει ανάλογα με το αν εμφανίζονται εντός γραμμής, ως μέρος μιας παραγράφου, ή στοιχειοθετούνται ως αυτόνομο υλικό που εμφανίζεται σε δική του γραμμή. Το επόμενο παράδειγμα παρουσιάζει αυτές τις αλλαγές στην οπτική εμφάνιση: ```latex \documentclass{article} % Χρήση του πακέτου geometry για τη μείωση % του πλάτους των γραφικών του άρθρου βοήθειας \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Τα κλάσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν εντός γραμμής μέσα στο κείμενο της παραγράφου, για παράδειγμα \(\frac{1}{2}\), ή να εμφανιστούν σε δική τους γραμμή, όπως αυτό: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα: ![Επίδειξη των λειτουργιών μαθηματικών εντός γραμμής και σε ξεχωριστή γραμμή στο LaTeX](/files/4d5ac0c78dc82bd889bd3b10aa93c616fd2b7c8d) * **Σημείωση**: Περισσότερες πληροφορίες για τις εκδοχές μαθηματικών εντός γραμμής και σε ξεχωριστή γραμμή μπορείτε να βρείτε στο άρθρο του Overleaf [Στυλ εμφάνισης στη μαθηματική λειτουργία](/latex/el/mathimatika/10-display-style-in-math-mode.md). Το παράδειγμά μας με το κλάσμα στοιχειοθετείται χρησιμοποιώντας την `\\frac` εντολή (`\frac{1}{2}`) η οποία έχει τη γενική μορφή `\frac{*numerator*}{*denominator*}`. ## Κλάσματα σε στυλ κειμένου Το ακόλουθο παράδειγμα δείχνει τη στοιχειοθεσία κλασμάτων μόνο κειμένου χρησιμοποιώντας την `\text{...}` εντολή που παρέχεται από το `amsmath` πακέτο. Η `\text{...}` εντολή χρησιμοποιείται για να αποτρέψει το LaTeX από το να στοιχειοθετεί το κείμενο ως κανονικό μαθηματικό περιεχόμενο. ```latex \documentclass{article} % Χρήση του πακέτου geometry για τη μείωση % του πλάτους των γραφικών του άρθρου βοήθειας \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} % \usepackage{amsmath}% Για την εντολή \text{...} \begin{document} Χρησιμοποιούμε την εντολή του πακέτου \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| για τη δημιουργία κλασμάτων μόνο κειμένου ως εξής: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Χωρίς την εντολή \verb|\text{...}| το αποτέλεσμα μοιάζει ως εξής: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα: ![Κειμενικά κλάσματα](/files/c1deaf36fa23311dbafd46c4939a58f95c0b2ba6) ## Μέγεθος και απόσταση μέσα σε στοιχειοθετημένα μαθηματικά Το μέγεθος και η απόσταση του μαθηματικού υλικού που στοιχειοθετείται από το LaTeX είναι [καθορίζονται από αλγορίθμους](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) οι οποίοι εφαρμόζουν δεδομένα μεγέθους και τοποθέτησης που περιέχονται στις γραμματοσειρές που χρησιμοποιούνται για τη στοιχειοθεσία μαθηματικών. Περιστασιακά, μπορεί να είναι απαραίτητο ή επιθυμητό να παρακάμψετε τα προεπιλεγμένα μαθηματικά στυλ—το μέγεθος και την απόσταση των μαθηματικών στοιχείων—που επιλέγει το LaTeX, ένα θέμα που συζητείται στο άρθρο βοήθειας του Overleaf [Στυλ εμφάνισης στη μαθηματική λειτουργία](/latex/el/mathimatika/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Συνοψίζοντας, τα προεπιλεγμένα στυλ που χρησιμοποιούνται για τη στοιχειοθεσία των μαθηματικών μπορούν να αλλάξουν με τις ακόλουθες εντολές: * `\textstyle`: εφαρμόζει το στυλ που χρησιμοποιείται για μαθηματικά στοιχειοθετημένα σε παραγράφους; * `\displaystyle`: εφαρμόζει το στυλ που χρησιμοποιείται για μαθηματικά στοιχειοθετημένα σε ξεχωριστές γραμμές; * `\scriptstyle`: εφαρμόζει το στυλ που χρησιμοποιείται για δείκτες ή εκθέτες; * `\scriptscriptstyle`: εφαρμόζει το στυλ που χρησιμοποιείται για δείκτες ή εκθέτες δεύτερου επιπέδου; τα οποία παρουσιάζονται στο επόμενο παράδειγμα. ```latex \documentclass{article} % Χρήση του πακέτου geometry για τη μείωση % του πλάτους των γραφικών του άρθρου βοήθειας \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Τα κλάσματα που στοιχειοθετούνται μέσα σε μια παράγραφο συνήθως μοιάζουν ως εξής: \(\frac{3x}{2}\). Μπορείτε να αναγκάσετε το \LaTeX{} να χρησιμοποιήσει το μεγαλύτερο display style, όπως \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), το οποίο επηρεάζει επίσης το διάστιχο. Το μέγεθος των μαθηματικών μέσα σε μια παράγραφο μπορεί επίσης να μειωθεί: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) ή \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). Στο παράδειγμα με \verb|\scriptscriptstyle| προσέξτε τη μείωση της απόστασης: οι χαρακτήρες μετακινούνται πιο κοντά στο \textit{vinculum} (τη γραμμή που χωρίζει τον αριθμητή από τον παρονομαστή). Ομοίως, μπορείτε να αλλάξετε το στυλ των μαθηματικών που συνήθως στοιχειοθετούνται σε display style: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{και}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{και}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα: ![Εικόνα που δείχνει αλλαγές στα προεπιλεγμένα μαθηματικά στυλ του LaTeX](/files/5c6c0f5f3c36d44456ded2e584b2b60eabfd2d7d) ## Συνεχόμενα κλάσματα Τα κλάσματα μπορούν να εμφωλευθούν για να προκύψουν πιο σύνθετες εκφράσεις. Το δεύτερο ζεύγος κλασμάτων που εμφανίζεται στο ακόλουθο παράδειγμα χρησιμοποιεί και τα δύο την `\cfrac` εντολή, η οποία έχει σχεδιαστεί ειδικά για την παραγωγή συνεχόμενων κλασμάτων. Για να χρησιμοποιήσετε `\cfrac` πρέπει να φορτώσετε το [`amsmath` πακέτο](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) στην προμετωπίδα του εγγράφου. ```latex \documentclass{article} % Χρήση του πακέτου geometry για τη μείωση % του πλάτους των γραφικών του άρθρου βοήθειας \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Φορτώστε το amsmath για πρόσβαση στην εντολή \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Τα κλάσματα μπορούν να εμφωλευθούν, αλλά σε αυτό το παράδειγμα προσέξτε ότι τα προεπιλεγμένα μαθηματικά στυλ, όπως χρησιμοποιούνται στον παρονομαστή, δεν δίνουν ιδανικά αποτελέσματα... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...έτσι χρησιμοποιούμε το \verb|\displaystyle| για να βελτιώσουμε τη στοιχειοθεσία: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Ακολουθεί ένα παράδειγμα που χρησιμοποιεί την εντολή \verb|\cfrac| του \texttt{amsmath}: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Ακολουθεί ένα ακόμη παράδειγμα, προερχόμενο από την τεκμηρίωση του \texttt{amsmath}, το οποίο παρουσιάζει αριστερή και δεξιά τοποθέτηση του αριθμητή χρησιμοποιώντας τις \verb|\cfrac[l]| και \verb|\cfrac[r]| αντίστοιχα: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα: ![Γραφικό που δείχνει ενσωματωμένα κλάσματα στοιχειοθετημένα στο LaTeX](/files/41ba8e2271c2c45269426fb032f86e70083830aa) ## Ένα τελευταίο παράδειγμα Αυτό το παράδειγμα παρουσιάζει ένα πιο σύνθετο συνεχόμενο κλάσμα: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Αυτό το παράδειγμα παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα: ![Εικόνα προχωρημένου συνεχόμενου κλάσματος στοιχειοθετημένου από το LaTeX](/files/e3ac6fefb702cf3988e0ec8e617d114b3f3d1cf6) ## Περαιτέρω ανάγνωση Για περισσότερες πληροφορίες δείτε: * [Μαθηματικές εκφράσεις](/latex/el/mathimatika/01-mathematical-expressions.md) * [Υποδείκτες και εκθέτες](/latex/el/mathimatika/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Αγκύλες και παρενθέσεις](/latex/el/mathimatika/03-brackets-and-parentheses.md) * [Στοίχιση εξισώσεων με το amsmath](/latex/el/mathimatika/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Τελεστές](/latex/el/mathimatika/07-operators.md) * [Μαθηματικές γραμματοσειρές](/latex/el/mathimatika/12-mathematical-fonts.md) * [Η όχι και τόσο σύντομη εισαγωγή στο LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/el/mathimatika/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.