> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/el/mathimatika/09-integrals-sums-and-limits.md). # Ολοκληρώματα, αθροίσματα και όρια ## Ολοκληρώματα Η έκφραση ολοκληρώματος μπορεί να προστεθεί χρησιμοποιώντας το `\int_{lower}^{upper}` εντολή. Σημειώστε ότι η έκφραση ολοκληρώματος μπορεί να φαίνεται λίγο διαφορετική στη μαθηματική λειτουργία εντός κειμένου και στη λειτουργία προβολής. | Κώδικας LaTeX | Έξοδος | | ------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------- | | `Ολοκλήρωμα \(\int_{a}^{b} x^2 \,dx\) μέσα στο κείμενο` | ![Example of an integral inside text](/files/f77aa7aa9d7dd511b155b8b791f8effb5ab06184) | | `\[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \]` | ![Example of an integral](/files/649beb0963be1ac994770a664d87f26c2001407e) | ## Πολλαπλά ολοκληρώματα Για να λάβετε διπλά/τριπλά/πολλαπλά ολοκληρώματα και κυκλικά ολοκληρώματα πρέπει να χρησιμοποιήσετε `amsmath` και `esint` (για κυκλικά ολοκληρώματα) πακέτα. | Κώδικας LaTeX | Έξοδος | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- | | `latex
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\end{gather*}
` | ![Example of multiple integrals](/files/37cfc54c3885ec61004be5f83ed3fb64f00f66d0) | | `latex
\[
\oint_V f(s) \,ds
\]
` | ![Example of integrals](/files/001e0e94ef3244d5ba713ea5ace6b9530c12a310) | ## Αθροίσματα και γινόμενα Όπως και το ολοκλήρωμα, η έκφραση αθροίσματος μπορεί να προστεθεί χρησιμοποιώντας το `\sum_{lower}^{upper}` εντολή. | Κώδικας LaTeX | Έξοδος | | ------------------------------------------------------------ | ----------------------------------------------------------------------------------------- | | `Άθροισμα $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1$ μέσα στο κείμενο` | ![Example of sum expression inside text](/files/2fe0be97ce967532880a870827c6842e3c716d0e) | | `\[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \]` | ![Example of sum expression](/files/f4569c371d865e391542ffea3cc573edf37859fa) | Με παρόμοιο τρόπο μπορείτε να λάβετε έκφραση με γινόμενο μιας ακολουθίας παραγόντων χρησιμοποιώντας το `\prod_{lower}^{upper}` εντολή. | Κώδικας LaTeX | Έξοδος | | -------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------- | | `Γινόμενο $\prod_{i=a}^{b} f(i)$ μέσα στο κείμενο` | ![Example of limit expression inside text](/files/34186297cc14a80deda6b7957a7343068c78d34b) | | `\[ \prod_{i=a}^{b} f(i) \]` | ![Example of limit expression](/files/ecfcb7d4af8566d3bace5c52d8ebd36e7c6981ed) | ## Όρια Η έκφραση ορίου μπορεί να προστεθεί χρησιμοποιώντας το `\lim_{lower}` εντολή. | Κώδικας LaTeX | Έξοδος | | ------------------------------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------- | | `Όριο $\lim_{x\to\infty} f(x)$ μέσα στο κείμενο` | ![Example of limits inside text](/files/91afa5010053c442e988df2ed3532423fba3f42c) | | `\[ \lim_{x\to\infty} f(x) \]` | ![Example of limits](/files/7d3d63dad351c34fc06cc7b4ede49af81cf11ee5) | ## Παραδείγματα Ακολουθεί ένα παράδειγμα εγγράφου LaTeX: ```latex \documentclass{article} \title{Ολοκληρώματα, Αθροίσματα και Όρια} \author{Overleaf} \date{} \usepackage{amsmath} \begin{document} \maketitle \section{Ολοκληρώματα} Ολοκλήρωμα \(\int_{a}^{b} x^2 dx\) μέσα στο κείμενο. \medskip Το ίδιο ολοκλήρωμα σε εμφάνιση: \[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \] και πολλαπλά ολοκληρώματα: \begin{gather*} \iint_V \mu(u,v) \,du\,dv \\ \iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw \\ \iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw \\ \idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k \\ \oint_V f(s) \,ds \end{gather*} \section{Αθροίσματα και γινόμενα} Άθροισμα \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1\) μέσα στο κείμενο. Το ίδιο άθροισμα σε εμφάνιση: \[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \] Γινόμενο \(\prod_{i=a}^{b} f(i)\) μέσα στο κείμενο. Το ίδιο γινόμενο σε εμφάνιση: \[ \prod_{i=a}^{b} f(i) \] \section{Όρια} Όριο \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) μέσα στο κείμενο. Το ίδιο όριο σε εμφάνιση: \[ \lim_{x\to\infty} f(x) \] \end{document} ``` [Ανοίξτε αυτό το παράδειγμα στο Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=lualatex\&snip_name=Integrals%2C+Sums+and+Limits\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BIntegrals%2C+Sums+and+Limits%7D%0A%5Cauthor%7BOverleaf%7D%0A%5Cdate%7B%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Cmaketitle%0A%0A%5Csection%7BIntegrals%7D%0A%0AIntegral+%5C%28%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+dx%5C%29+inside+text.%0A%0A%5Cmedskip%0A%0AThe+same+integral+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+%5C%2Cdx%0A%5C%5D%0Aand+multiple+integrals%3A%0A%5Cbegin%7Bgather%2A%7D%0A++++%5Ciint_V+%5Cmu%28u%2Cv%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiint_V+%5Cmu%28u%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiiint_V+%5Cmu%28t%2Cu%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdt%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Cidotsint_V+%5Cmu%28u_1%2C%5Cdots%2Cu_k%29+%5C%2Cdu_1+%5Cdots+du_k%0A%5C%5C%0A++++%5Coint_V+f%28s%29+%5C%2Cds%0A%5Cend%7Bgather%2A%7D%0A%0A%5Csection%7BSums+and+products%7D%0A%0ASum+%5C%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+sum+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%0A%5C%5D%0A%0AProduct+%5C%28%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+product+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Csection%7BLimits%7D%0A%0ALimit+%5C%28%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+limit+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) ## Περαιτέρω ανάγνωση Για περισσότερες πληροφορίες δείτε * [Μαθηματικές εκφράσεις](/latex/el/mathimatika/01-mathematical-expressions.md) * [Υποδείκτες και εκθέτες](/latex/el/mathimatika/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Κλάσματα και διωνύμια](/latex/el/mathimatika/05-fractions-and-binomials.md) * [Στυλ εμφάνισης στη μαθηματική λειτουργία](/latex/el/mathimatika/10-display-style-in-math-mode.md) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/el/mathimatika/09-integrals-sums-and-limits.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.