> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/alakohtaiset/01-theorems-and-proofs.md). # Lauseet ja todistukset ## Johdanto Matemaattiset asiakirjat sisältävät elementtejä, jotka vaativat erityistä muotoilua ja numerointia, kuten lauseita, määritelmiä, propositioita, huomautuksia, seurauksia, lemmoja ja niin edelleen. Tässä artikkelissa selitetään, kuinka nämä ympäristöt määritellään LaTeXissa. Numeroidut ympäristöt LaTeXissa voidaan määritellä komennolla `\newtheorem` joka ottaa kaksi argumenttia: ```latex \newtheorem{theorem}{Lause} ``` * ensimmäinen on määriteltävän ympäristön nimi * toinen on sana, joka tulostetaan lihavoituna ympäristön alussa. Kun tämä uusi ympäristö on määritelty, sitä voidaan käyttää normaalisti asiakirjassa, ja sen rajat määrittävät `\begin{theorem}` ja `\end{theorem}`. Alla on esimerkki: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Lause} \begin{document} \section{Introduction} Lauseita voidaan määritellä helposti: \begin{theorem} Olkoon \(f\) funktio, jonka derivaatta on olemassa jokaisessa pisteessä, niin \(f\) on jatkuva funktio. \end{theorem} \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/c5894a52790197644f592bd202f7ce9aaa565b28) ## Numeroidut lauseet, määritelmät, seuraukset ja lemmet Ympäristöjen numerointia voidaan hallita kahdella lisäparametrilla `\newtheorem` komennossa. Katsotaan: ```latex \newtheorem{theorem}{Lause}[section] \newtheorem{corollary}{Seuraus}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} Lauseita voidaan määritellä helposti: \begin{theorem} Olkoon \(f\) funktio, jonka derivaatta on olemassa jokaisessa pisteessä, niin \(f\) on jatkuva funktio. \end{theorem} \begin{theorem}[Pythagoraan lause] \label{pythagorean} Tämä on suorakulmaisia kolmioita koskeva lause, ja sen voi tiivistää seuraavassa equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} Ja lauseen \ref{pythagorean} seuraus on seuraava seuraus. \begin{corollary} Ei ole olemassa suorakulmiota, jonka sivujen pituudet ovat 3 cm, 4 cm ja 6 cm. \end{corollary} Voit viitata lauseisiin, kuten \ref{pythagorean}, kun niille on annettu tunniste. \begin{lemma} Kun kahden janan pituudet ovat vastaavasti \(a\) ja \(b\), on olemassa reaaliluku \(r\), jolle \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/2376f6dc06071adef5aaf5973358dd3df7f2cddb) Esipuheessa on määritelty kolme uutta ympäristöä. **\newtheorem{theorem}{Lause}\[section]** Tämä on johdannossa esitetty esimerkki, mutta siinä on lisäparametri \[section], joka nollaa lauseiden laskurin jokaisen uuden osion alussa. **\newtheorem{corollary}{Seuraus}\[theorem]** Ympäristö nimeltä corollary luodaan; tämän uuden ympäristön laskuri nollataan aina, kun käytetään uutta theorem-ympäristöä. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** Tässä tapauksessa, vaikka luodaan uusi ympäristö nimeltä lemma, se käyttää samaa laskuria kuin theorem-ympäristö. Joillakin kuuluisilla lauseilla on omat nimensä; näissä tapauksissa voit lisätä kyseisen nimen hakasulkeisiin ympäristön aloituskomennossa. Esimerkissä rivi `\begin{theorem}[Pythagoraan lause]` tulostaa "Pythagoraan lause" kappaleen alkuun. Kuten monien muidenkin numeroitujen elementtien kohdalla LaTeXissa, komento `\label` voidaan käyttää viitattaessa lauseen kaltaisiin ympäristöihin asiakirjassa. ## Numeroimattomat lauseen kaltaiset ympäristöt Matemaattiseen asiakirjaan voi olla hyödyllistä lisätä numeroimaton lauseen kaltainen ympäristö huomautuksia, kommentteja tai esimerkkejä varten. `amsthm` paketti tarjoaa tämän toiminnallisuuden. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Huomautus} \begin{document} Numeroimattomat lauseen kaltaiset ympäristöt ovat myös mahdollisia. \begin{remark} Tämä väite on kai tosi. \end{remark} \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/0d47b14fbc2c0acf29fa76567ffcbbed6d4031b2) Komennon syntaksi `\newtheorem*` on sama kuin ei-tähtiversion, paitsi laskuriparametrien osalta. Tässä esimerkissä luodaan uusi numeroimaton ympäristö nimeltä `remark` luodaan. ## Lauseiden tyylit Matemaattisen asiakirjan kanssa työskennellessä tärkeä ominaisuus on voida erottaa esimerkiksi määritelmät lauseista niiden muotoilun perusteella. Paketti `amsthm` tarjoaa tähän erityisiä komentoja. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Huomautus} \begin{document} \section{Introduction} Numeroimattomat lauseen kaltaiset ympäristöt ovat myös mahdollisia. \begin{remark} Tämä väite on kai tosi. \end{remark} Ja seuraava on jokseenkin epämuodollinen määritelmä \begin{definition}[Fibraatio] Fibraatio on kuvaus kahden topologisen avaruuden välillä, jolla on homotopian nosto-ominaisuus jokaiselle avaruudelle \(X\). \end{definition} \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/7abf9ef1b5d937c5ad4aa98bf8758cfd910bc749) Komento `\theoremstyle{ }` asettaa juuri sen alla määritellyn numeroidun ympäristön tyylin. Yllä olevassa esimerkissä tyylejä *remark* ja *definition* käytetään. Huomaa, että huomautus on nyt kursivoitu ja ympäristön teksti käyttää tavallista (roomalaista) kirjasintyyliä; määritelmä puolestaan käyttää myös roomalaista kirjasintyyliä tekstissä, mutta sana "Määritelmä" tulostetaan lihavoituna. Katso [viiteopas](#reference-guide) lisää lauseiden tyylejä varten. ## Todistukset Todistukset ovat matemaattisten artikkelien ja kirjojen ydin, ja on tavanomaista erottaa ne visuaalisesti asiakirjan tavallisesta tekstistä. `amsthm` paketti tarjoaa ympäristön `proof` tätä varten. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Lause}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} \begin{lemma} Kun kahden janan pituudet ovat vastaavasti \(a\) ja \(b\), on olemassa reaaliluku \(r\), jolle \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Todistaaksesi sen vastaoletuksella, yritä olettaa, että väite on epätosi, jatka siitä eteenpäin, ja jossain vaiheessa päädyt ristiriitaan. \end{proof} \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/c6f4cad2773a94709425717becef43f824578cfa) Sana `Todistus` on kursivoitu ja siinä on hieman ylimääräistä väliä; lisäksi todistuksen loppu merkitään erityisellä symbolilla. Tätä symbolia voi helposti vaihtaa; katso miten seuraavasta osiosta. ## QED-symbolin vaihtaminen Todistuksen lopussa tulostettavaa symbolia kutsutaan "QED-symboliksi". Lainatakseni [QED:n merkitystä](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) Wikipediasta: > QED on lyhenne latinalaisesta ilmauksesta *quod erat demonstrandum*, joka tarkoittaa "siis tämä on osoitettu" QED-symbolin esittämiseen on helppoa käyttää haluamaasi symbolia tai sanamuotoa. Komento ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` voidaan käyttää korvaamaan oletusarvoinen valkoinen neliö mustalla neliöllä, jonka tulostaa `$\blacksquare$`, aaltosulkeiden sisällä oleva parametri. Tai voit kirjoittaa QED-sanan suoraan: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Tässä on esimerkki, joka havainnollistaa molemmat vaihtoehdot: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Lause}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} \begin{lemma} Kun kahden janan pituudet ovat vastaavasti \(a\) ja \(b\), on olemassa reaaliluku \(r\), jolle \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Todistaaksesi sen vastaoletuksella, yritä olettaa, että väite on epätosi, jatka siitä eteenpäin, ja jossain vaiheessa päädyt ristiriitaan. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Todistaaksesi sen vastaoletuksella, yritä olettaa, että väite on epätosi, jatka siitä eteenpäin, ja jossain vaiheessa päädyt ristiriitaan. \end{proof} \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/cb511676057691aac0a1f293cee707ec936964e8) ## Viiteopas ***Lauseiden tyylit*** * `definition` lihavoitu otsikko, roomalainen leipäteksti. Yleisesti käytetty määritelmissä, ehdoissa, tehtävissä ja esimerkeissä. * `plain` lihavoitu otsikko, kursivoitu leipäteksti. Yleisesti käytetty lauseissa, lemmoissa, seurauksissa, propositioissa ja otaksumissa. * `remark` kursivoitu otsikko, roomalainen leipäteksti. Yleisesti käytetty huomautuksissa, muistiinpanoissa, annotaatioissa, väitteissä, tapauksissa, kiitoksissa ja johtopäätöksissä. ## Lisälukemista Lisätietoja löydät: * [Matemaattiset lausekkeet](/latex/fi/matematiikka/01-mathematical-expressions.md) * [Ympäristöt](/latex/fi/komennot/02-environments.md) * [Näyttötyyli matematiikkatilassa](/latex/fi/matematiikka/10-display-style-in-math-mode.md) * [Luettelo kreikkalaisista kirjaimista ja matemaattisista symboleista](/latex/fi/matematiikka/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Matemaattiset fontit](/latex/fi/matematiikka/12-mathematical-fonts.md) * [Useita tiedostoja sisältävät LaTeX-projektit](/latex/fi/asiakirjan-rakenne/08-multi-file-latex-projects.md) * [Ristiinviittaukset osioihin ja yhtälöihin](/latex/fi/asiakirjan-rakenne/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hyperlinkit](/latex/fi/asiakirjan-rakenne/09-hyperlinks.md) * [Se **amsthm** pakettidokumentaatio](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/alakohtaiset/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.