> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/02-subscripts-and-superscripts.md). # Ala- ja yläindeksit ## Johdanto Ylä- ja alaindeksien käyttö on hyvin yleistä matemaattisissa lausekkeissa, joissa on eksponentteja, indeksejä ja joissakin erityisoperaattoreissa. Tässä artikkelissa selitetään, miten ylä- ja alaindeksejä kirjoitetaan yksinkertaisissa lausekkeissa, integraaleissa, summissa ja niin edelleen. Määrätyt integraalit ovat eräitä yleisimmistä matemaattisista lausekkeista, joten katsotaan esimerkki: ```latex \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä LaTeX-koodi tuottaa: $$\int\limits\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ Tavan mukaan ylä- ja alaindeksit LaTeXissa luodaan käyttämällä merkkejä `^` ja `_` vastaavasti; esimerkiksi eksponentit, joita sovelletaan $$x$$ ja $$y$$ kohdassa yllä olevassa koodikatkelmassa. Näitä merkkejä voidaan käyttää myös matemaattisten symbolien kanssa, kuten integraalin (`\int`) joka sisältyy yllä olevaan esimerkkiin, jossa `_` käytetään ala-arvon asettamiseen ja `^` ylärajaa varten. Komento `\limits` muuttaa tapaa, jolla rajat näytetään integraalissa; jos sitä ei ole, rajat olisivat integraalisymbolin vieressä ylä- ja alapuolen sijasta: ```latex \[ \int_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä LaTeX-koodi tuottaa: $$\int\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ ## Yksityiskohtaisempia esimerkkejä Symbolit `_` ja `^` voidaan myös yhdistää samaan lausekkeeseen, esimerkiksi: ```latex \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä LaTeX-koodi tuottaa: $$a\_1^2 + a\_2^2 = a\_3^2$$ Jos lauseke sisältää pitkiä ylä- tai alaindeksejä, ne on ryhmiteltävä aaltosulkeisiin, sillä LaTeX käyttää tavallisesti matemaattisia komentoja `^` ja `_` vain seuraavaan merkkiin: ```latex \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+3\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä LaTeX-koodi tuottaa: $$x^{2 \alpha} - 1 = y\_{ij} + y\_{ij}$$ Ala- ja yläindeksejä voidaan sisäkkäistää ja yhdistää monin eri tavoin. Kun kuitenkin sisäkkäistät ala- ja yläindeksejä, muista, että jokaisen komennon on viitattava yhteen elementtiin; tämä voi olla yksi kirjain tai numero, kuten yllä olevissa esimerkeissä, tai monimutkaisempi matemaattinen lauseke, joka on ryhmitelty aaltosulkeisiin tai hakasulkeisiin. Esimerkiksi: ```latex \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä LaTeX-koodi tuottaa: $$(a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}$$ ## Operaattorit, joissa käytetään ala- ja yläindeksejä Jotkin matemaattiset operaattorit saattavat vaatia ala- ja yläindeksejä. Yleisimpiä tapauksia ovat integraali `\int` (katso [johdannossa](#introduction)) ja summan (`\sum`) operaattorit, joiden rajat ladotaan täsmälleen ala- ja yläindekseillä. ```latex \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%0A%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä LaTeX-koodi tuottaa: $$\sum\_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod\_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$$ Muiden usein käytettyjen operaattorien, jotka vaativat ala- tai yläindeksejä, kohdalla katso [viiteopas](#reference-guide). ## Avaa kaikki koodikatkelmat Overleafissa Käytä alla olevaa linkkiä avataksesi kaikki yllä olevat esimerkit yhtenä Overleaf-projektina: ```latex Tässä on joitakin esimerkkejä ala- ja yläindeksien yksinkertaisesta käytöstä: \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] \vspace{1cm} Ylä- ja alaindeksien käyttäminen samassa lausekkeessa \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] \vspace{1cm} Pidemmät ala- ja yläindeksit: \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] \vspace{1cm} Sisäkkäiset ala- ja yläindeksit \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] \vspace{1cm} Esimerkki matemaattisesta yhtälöstä, jossa on ala- ja yläindeksejä \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] \vspace{1cm} Neliöjuuren käyttö \[ \sqrt[4]{4ac} = \sqrt{4ac}\sqrt{4ac} \] ``` [Avaa kaikki yllä olevat esimerkit yhtenä Overleaf-projektina.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+6\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BSubscripts+and+Superscripts%7D%0A%5Cauthor%7BExamples+from+Overleaf%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cmaketitle%0AHere+are+some+examples+of+simple+usage+of+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AUsing+superscript+and+subscripts+in+the+same+expression%0A%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ALonger+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ANested+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AExample+of+a+mathematical+equation+with+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ASquared+root+usage%0A%0A%5C%5B+%5Csqrt%5B4%5D%7B4ac%7D+%3D+%5Csqrt%7B4ac%7D%5Csqrt%7B4ac%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) ## Viiteopas Lisää esimerkkejä ja operaattoreita | LaTeX-merkintä | Näkyy muodossa | | --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | `a_{n_i}` | a n i {\displaystyle a\_{n\_{i}}} ![{\displaystyle a\_{n\_{i}}}](/files/6da1039c275de4ff72ba6e5b89ce55fb99de6e23) | | `\int_{i=1}^n` | ∫ i = 1 n {\displaystyle \int \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \int \_{i=1}^{n}}](/files/bf026d395cc25bd3f8696f5847818138314e9e59) | | `\sum_{i=1}^{\infty}` | ∑ i = 1 ∞ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }} ![{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }}](/files/0137668d35fc0772f4258739a005c2dfb56f335f) | | `\prod_{i=1}^n` | ∏ i = 1 n {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}}](/files/41b48c59c1d75c69e1c559cabf3077a37d980248) | | `\cup_{i=1}^n` | ∪ i = 1 n {\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}}](/files/b77348df1ec632e17ac6f97070956a4c3c6abad5) | | `\cap_{i=1}^n` | ∩ i = 1 n {\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}}](/files/34419ed2548e2e0c6b18a2a7dcd7abef21176e1d) | | `\oint_{i=1}^n` | ∮ i = 1 n {\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}}](/files/67ab2cf86d8c65f9e149054eb0c2a3150d7ca505) | | `\coprod_{i=1}^n` | ∐ i = 1 n {\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}}](/files/2b9077c6fea6a71d1b852a1633eccf162fac65f5) | On myös `bigcup` ja `bigcap` komennot, jotka ovat samankaltaisia kuin `cup` ja `cap` mutta niitä käytetään suuremmille lausekkeille. ## Lisälukemista Lisätietoja on kohdassa * [Luettelo kreikkalaisista kirjaimista ja matemaattisista symboleista](/latex/fi/matematiikka/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Operaattorit](/latex/fi/matematiikka/07-operators.md) * [Integraalit, summat ja raja-arvot](/latex/fi/matematiikka/09-integrals-sums-and-limits.md) * [Matemaattiset fontit](/latex/fi/matematiikka/12-mathematical-fonts.md) * [Hakasulkeet ja sulut](/latex/fi/matematiikka/03-brackets-and-parentheses.md) * [Suuri, laaja luettelo LaTeX-symboleista](http://www.rpi.edu/dept/arc/training/latex/LaTeX_symbols.pdf) (täydellinen luettelo käytettävissä olevista matemaattisista symboleista paketissa **amssymb** paketti) * [Ei-niin-lyhyt johdatus LaTeX2ε:ään](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) * [Yhtälöiden tasaus amsmathilla](/latex/fi/matematiikka/06-aligning-equations-with-amsmath.md) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/02-subscripts-and-superscripts.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.