> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/03-brackets-and-parentheses.md). # Hakasulkeet ja sulkeet ## Johdanto Sulkeet ja hakasulkeet ovat hyvin yleisiä matemaattisissa kaavoissa. Voit helposti hallita sulkeiden kokoa ja tyyliä LaTeXissa; tässä artikkelissa kerrotaan miten. Tässä on taulukko, jossa luetellaan joitakin yleisiä LaTeXissa käytettäviä matemaattisia sulkeita: | Tyyppi | LaTeX-merkintä | Näkyy muodossa | | -------------------------- | --------------------- | -------------------------- | | Sulkeet; pyöreät sulkeet | `(x+y)` | $$(x+y)$$ | | Hakasulkeet; neliösulkeet | `[x+y]` | $$\[x+y]$$ | | Aaltosulkeet; kaarisulkeet | `\{ x+y \}` | $${ x+y }$$ | | Kulmasulkeet | `\langle x+y \rangle` | $$\langle x+y\rangle$$ | | Pystypalkit; pystyviivat | `\|x+y\|` | $$\displaystyle\| x+y \|$$ | | Kaksoispystypalkit | \`\\ | x+y\\ | ## Joitakin esimerkkejä Sulkeiden kokoa ja tyyliä voidaan asettaa manuaalisesti, tai niiden kokoa voidaan muuttaa dynaamisesti asiakirjassasi, kuten seuraavassa esimerkissä: ```latex \[ F = G \left( \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) \] ``` [Avaa tämä LaTeX-katkelma Overleafissa](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+1\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%0AF+%3D+G+%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bm_1+m_2%7D%7Br%5E2%7D+%5Cright%29%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Yllä oleva esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: $$F = G \left( \frac{m\_1 m\_2}{r^2} \right)$$ Huomaa, että lisätäksesi sulkeet tai hakasulkeet, `\left` ja `\right` komentoja käytetään. Vaikka käytät vain yhtä suljetta, *molemmat* komennot ovat pakollisia. `\left` ja `\right` voi säätää kokoa dynaamisesti, kuten seuraava esimerkki osoittaa: ```latex \[ \left[ \frac{ N } { \left( \frac{L}{p} \right) - (m+n) } \right] \] ``` [Avaa tämä LaTeX-katkelma Overleafissa](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%0A+%5Cleft%5B++%5Cfrac%7B+N+%7D+%7B+%5Cleft%28+%5Cfrac%7BL%7D%7Bp%7D+%5Cright%29++-+%28m%2Bn%29+%7D++%5Cright%5D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Yllä oleva esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: $$\left\[ \frac{ N } { \left( \frac{L}{p} \right) - (m+n) } \right]$$ Kun kirjoitat monirivisiä yhtälöitä `align-ympäristöllä`, `align*` tai `aligned` ympäristöissä, `\left` ja `\right` komentojen on oltava tasapainossa *jokaisella rivillä ja samalla puolella `&`*. Siksi seuraava koodinpätkä antaa virheitä: ```latex \begin{align*} y = 1 + & \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots \\ & \quad + \frac{1}{x^{n-1}} + \frac{1}{x^n} \right) \end{align*} ``` [Avaa tämä LaTeX-pätkä Overleafissa (virheineen)](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+with+errors\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0Ay++%3D+1+%2B+%26+%5Cleft%28++%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+%2B+%5Cldots++%5C%5C%0A++%26+%5Cquad++%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7Bn-1%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D+%5Cright%29%0A%5Cend%7Balign%2A%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ratkaisu on käyttää "näkymättömiä" sulkeita tasapainottamaan asiat, eli lisäämällä `\right.` ensimmäisen rivin loppuun ja `\left.` toisen rivin alkuun jälkeen `&`: ```latex \begin{align*} y = 1 + & \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots \right. \\ &\left. \quad + \frac{1}{x^{n-1}} + \frac{1}{x^n} \right) \end{align*} ``` [Avaa tämä LaTeX-katkelma Overleafissa](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0Ay++%3D+1+%2B+%26+%5Cleft%28++%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+%2B+%5Cldots+%5Cright.+%5C%5C%0A++%26%5Cleft.+%5Cquad+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7Bn-1%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D+%5Cright%29%0A%5Cend%7Balign%2A%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Yllä oleva esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![Paren-ex03.png](/files/c61263d9598d9f5f0c9a7cfc83314f56cd8b07d3) ## Tyypin ja koon hallinta Sulkeiden kokoa voidaan hallita suoraan, kuten tässä LaTeX-koodinpätkässä näkyy: ```latex \[ \Biggl \langle 3x+7 \biggr \rangle \] ``` [Avaa tämä LaTeX-katkelma Overleafissa](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B%0A+%5CBiggl+%5Clangle+3x%2B7+%5Cbiggr+%5Crangle%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Yllä oleva esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: $$\Biggl \langle 3x+7 \biggr \rangle$$ Komennot `\Biggl` ja `\biggr` määrittävät erotinten koon `<` ja `>` vastaavasti, ja `l` tai `r` ilmaisevat, onko kyseessä vasen vai oikea sulje. Täydellinen luettelo sulkeista ja ko’oista on [viiteopas](#reference-guide). ## Viiteopas | LaTeX-merkintä | Näkyy muodossa | | ----------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------- | | `\bigl( \Bigl( \biggl( \Biggl(` | $$\big( \Big( \bigg( \Bigg($$ | | `\bigr] \Bigr] \biggr] \Biggr]` | $$\big] \Big] \bigg] \Bigg]$$ | | `\bigl\{ \Bigl\{ \biggl\{ \Biggl\{` | $$\big{ \Big{ \bigg{ \Bigg{$$ | | `\bigl \langle \Bigl \langle \biggl \langle \Biggl \langle` | $$\big \langle \Big \langle \bigg \langle \Bigg \langle$$ | | `\bigr \rangle \Bigr \rangle \biggr \rangle \Biggr \rangle` | $$\big \rangle \Big \rangle \bigg \rangle \Bigg \rangle$$ | | `\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\|` | $$\big\| ; \Big\| ; \bigg\| ; \Bigg\|$$ | | \`\big\\ | \Big\\ | | `\bigl \lceil \Bigl \lceil \biggl \lceil \Biggl \lceil` | $$\big \lceil \Big \lceil \bigg \lceil \Bigg \lceil$$ | | `\bigr \rceil \Bigr \rceil \biggr \rceil \Biggr \rceil` | $$\big \rceil \Big \rceil \bigg \rceil \Bigg \rceil$$ | | `\bigl \lfloor \Bigl \lfloor \biggl \lfloor \Biggl \lfloor` | $$\big \lfloor \Big \lfloor \bigg \lfloor \Bigg \lfloor$$ | | `\bigr \rfloor \Bigr \rfloor \biggr \rfloor \Biggr \rfloor` | $$\big \rfloor \Big \rfloor \bigg \rfloor \Bigg \rfloor$$ | ## Lisälukemista * [Matemaattiset lausekkeet](/latex/fi/matematiikka/01-mathematical-expressions.md) * [Alaindeksit ja yläindeksit](/latex/fi/matematiikka/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Yhtälöiden tasaus amsmathilla](/latex/fi/matematiikka/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Näyttötyyli matematiikkatilassa](/latex/fi/matematiikka/10-display-style-in-math-mode.md) * [Operaattorit](/latex/fi/matematiikka/07-operators.md) * [Ei-niin-lyhyt johdatus LaTeX2ε:ään](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/03-brackets-and-parentheses.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.