> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/05-fractions-and-binomials.md). # Murtoluvut ja binomit ## Johdanto Tässä artikkelissa selitetään, miten murtoluvut ja binomikertoimet ladotaan, alkaen seuraavasta esimerkistä, joka käyttää [`amsmath` paketti](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Binomikerroin, \(\binom{n}{k}\), määritellään lausekkeella: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Se [`amsmath` paketti](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) lisätään asiakirjan johdantoon seuraava rivi: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Tässä on tuotettu tulos: ![Kuva, jossa näkyy binomikertoimen LaTeX-ladonta](/files/3a360fdb8acc9546c327947692aa602653e362d0) ## Murtolukujen näyttäminen Murtolukujen ulkoasu muuttuu sen mukaan, esiintyvätkö ne rivissä, kappaleen osana vai erillisenä, omalle riville ladottuna materiaalina. Seuraava esimerkki havainnollistaa näitä ulkoasun muutoksia: ```latex \documentclass{article} % Käytetään geometry-pakettia pienentämään % ohjeartikkelin kuvien leveyttä \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Murtolukuja voidaan käyttää rivissä kappaletekstin sisällä, esimerkiksi \(\frac{1}{2}\), tai ne voidaan näyttää omalla rivillään, tällainen: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![Rivinsisäisten ja erillisten matematiikkatilojen esittely LaTeXissa](/files/15d693391572235d7436724d5a1ada1e362407ec) * **Huomaa**: Lisätietoja matematiikan rivinsisäisistä ja erillistä versioista löytyy Overleafin artikkelista [Näyttötyyli matematiikkatilassa](/latex/fi/matematiikka/10-display-style-in-math-mode.md). Esimerkkimurtolukumme ladotaan käyttäen `\frac` komentoa (`\frac{1}{2}`) jolla on yleinen muoto `\frac{*osoittaja*}{*nimittäjä*}`. ## Tekstimuotoiset murtoluvut Seuraava esimerkki havainnollistaa pelkkää tekstiä sisältävien murtolukujen ladontaa käyttämällä `\text{...}` komentoa, jonka tarjoaa `amsmath` paketti. `\text{...}` komentoa käytetään estämään LaTeXia latoamasta tekstiä tavallisena matemaattisena sisältönä. ```latex \documentclass{article} % Käytetään geometry-pakettia pienentämään % ohjeartikkelin kuvien leveyttä \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% \text{...}-komentoa varten \begin{document} Käytämme \texttt{amsmath}-paketin komentoa \verb|\text{...}| luodaksemme pelkkää tekstiä sisältäviä murtolukuja näin: \[\frac{\text{osoittaja}}{\text{nimittäjä}}\] Ilman \verb|\text{...}|-komentoa tulos näyttää tältä: \[\frac{osoittaja}{nimittäjä}\] \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![Tekstimuotoiset murtoluvut](/files/9a579c46ea3689ee4a8a8ba6f1f2d3936256c55c) ## Koko ja välistys ladotussa matematiikassa LaTeXin latoaman matemaattisen aineiston koko ja välistys [määräytyvät algoritmien](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) perusteella, jotka soveltavat matematiikan latoamiseen käytettyihin fontteihin sisältyviä koko- ja sijoittelutietoja. Joskus voi olla tarpeen tai toivottavaa ohittaa LaTeXissa valitut oletusmatematiikkatyylit — matematiikkaelementtien koko ja välistys —, mistä keskustellaan Overleafin ohjeartikkelissa [Näyttötyyli matematiikkatilassa](/latex/fi/matematiikka/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Yhteenvetona voidaan todeta, että matematiikan latoamiseen käytettyjä oletustyylejä voidaan muuttaa seuraavilla komennoilla: * `\textstyle`: käytä tyyliä, jota käytetään kappaleisiin ladotussa matematiikassa; * `\displaystyle`: käytä tyyliä, jota käytetään omille riveille ladotussa matematiikassa; * `\scriptstyle`: käytä alaindekseissä tai yläindekseissä käytettävää tyyliä; * `\scriptscriptstyle`: käytä toisen asteen alaindekseissä tai yläindekseissä käytettävää tyyliä; joita havainnollistetaan seuraavassa esimerkissä. ```latex \documentclass{article} % Käytetään geometry-pakettia pienentämään % ohjeartikkelin kuvien leveyttä \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Kappaleen sisällä ladotut murtoluvut näyttävät tyypillisesti tältä: \(\frac{3x}{2}\). Voit pakottaa \LaTeX{}in käyttämään suurempaa display-tyyliä, kuten \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), mikä vaikuttaa myös riviväliin. Kappaleessa olevan matematiikan kokoa voidaan myös pienentää: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) tai \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). Huomaa \verb|\scriptscriptstyle|-esimerkissä välistyksen pieneneminen: merkit siirtyvät lähemmäs \textit{vinculumia} (osoittajan ja nimittäjän erottavaa viivaa). Samoin voit muuttaa normaalisti display-tyylissä ladotun matematiikan tyyliä: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{ja}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{ja}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![Kuva, joka näyttää muutokset LaTeXin oletusmatematiikkatyyleissä](/files/505a5ce047f48eed7a9f152b3b4ec05296f22068) ## Jatkuvat murtoluvut Murtolukuja voidaan sisäkkäistää monimutkaisempien lausekkeiden saamiseksi. Seuraavassa esimerkissä näytettävät murtolukujen toiset parit käyttävät molemmat `\cfrac` komentoa, joka on suunniteltu erityisesti jatkuvien murtolukujen tuottamiseen. Käyttääksesi `\cfrac` sinun on ladattava [`amsmath` paketti](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) asiakirjan johdantoon. ```latex \documentclass{article} % Käytetään geometry-pakettia pienentämään % ohjeartikkelin kuvien leveyttä \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Lataa amsmath, jotta voit käyttää \cfrac{...}{...}-komentoa \usepackage{amsmath} \begin{document} Murtolukuja voidaan sisäkkäistää, mutta tässä esimerkissä huomaa, miten oletusmatematiikkatyylit, sellaisina kuin niitä käytetään nimittäjässä, eivät tuota ihanteellisia tuloksia... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...joten käytämme \verb|\displaystyle|a ladonnan parantamiseksi: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Tässä on esimerkki, jossa käytetään \texttt{amsmath}-paketin \verb|\cfrac|-komentoa: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Tässä on toinen esimerkki, joka on johdettu \texttt{amsmath}-dokumentaatiosta ja joka havainnollistaa osoittajan vasemman ja oikeanpuoleista sijoittelua käyttämällä vastaavasti \verb|\cfrac[l]|- ja \verb|\cfrac[r]|-komentoja: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![Grafiikka, joka havainnollistaa LaTeXissa ladottuja sisäkkäisiä murtolukuja](/files/c1679f234cc009b1b7207f337a60a7ad9fe4eb42) ## Viimeinen esimerkki Tämä esimerkki havainnollistaa monimutkaisempaa jatkumurtolukua: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Avaa tämä esimerkki Overleafissa.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Tämä esimerkki tuottaa seuraavan tulosteen: ![Kuva edistyneestä jatkumurtoluvusta, ladottu LaTeXilla](/files/f90d4072f39e46dfeecf8d058ddbd3f7dac069c2) ## Lisälukemista Lisätietoja löydät: * [Matemaattiset lausekkeet](/latex/fi/matematiikka/01-mathematical-expressions.md) * [Alaindeksit ja yläindeksit](/latex/fi/matematiikka/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Hakasulkeet ja sulut](/latex/fi/matematiikka/03-brackets-and-parentheses.md) * [Yhtälöiden tasaus amsmathilla](/latex/fi/matematiikka/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operaattorit](/latex/fi/matematiikka/07-operators.md) * [Matemaattiset fontit](/latex/fi/matematiikka/12-mathematical-fonts.md) * [Ei-niin-lyhyt johdatus LaTeX2ε:ään](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.