> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/09-integrals-sums-and-limits.md).
# Integraalit, summat ja rajat
## Integraalit
Integraalilauseke voidaan lisätä käyttämällä `\int_{lower}^{upper}` komento.
Huomaa, että integraalilauseke saattaa näyttää hieman erilaiselta rivinsisäisessä ja näyttömatematiikkatilassa.
| LaTeX-koodi | Tulos |
| ------------------------------------------------ | -------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Integraali \(\int_{a}^{b} x^2 \,dx\) tekstissä` |  |
| `\[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \]` |  |
## Useat integraalit
Saadaksesi kaksois-, kolmois- tai moninkertaisia integraaleja sekä kiertointegraaleja sinun täytyy käyttää `amsmath` ja `esint` (kiertointegraaleja varten) -paketteja.
| LaTeX-koodi | Tulos |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- |
| `latex
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\end{gather*}
` |  |
| `latex
\[
\oint_V f(s) \,ds
\]
` |  |
## Summat ja tulot
Kuten integraali, summalauseke voidaan lisätä käyttämällä `\sum_{lower}^{upper}` komento.
| LaTeX-koodi | Tulos |
| -------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Summa $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1$ tekstissä` |  |
| `\[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \]` |  |
Vastaavalla tavalla voit muodostaa lausekkeen tekijäjonon tulolla käyttämällä `\prod_{lower}^{upper}` komento.
| LaTeX-koodi | Tulos |
| --------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Tulo $\prod_{i=a}^{b} f(i)$ tekstissä` |  |
| `\[ \prod_{i=a}^{b} f(i) \]` |  |
## Raja-arvot
Raja-arvolauseke voidaan lisätä käyttämällä `\lim_{lower}` komento.
| LaTeX-koodi | Tulos |
| ---------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- |
| `Raja-arvo $\lim_{x\to\infty} f(x)$ tekstissä` |  |
| `\[ \lim_{x\to\infty} f(x) \]` |  |
## Esimerkkejä
Tässä on esimerkkilaTeX-asiakirja:
```latex
\documentclass{article}
\title{Integraalit, summat ja raja-arvot}
\author{Overleaf}
\date{}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\maketitle
\section{Integraalit}
Integraali \(\int_{a}^{b} x^2 dx\) tekstissä.
\\medskip
Sama integraali näyttömuodossa:
\[
\int_{a}^{b} x^2 \,dx
\]
ja useita integraaleja:
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\\
\oint_V f(s) \,ds
\end{gather*}
\section{Summat ja tulot}
Summa \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1\) tekstissä.
Sama summa näyttömuodossa:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1
\]
Tulo \(\prod_{i=a}^{b} f(i)\) tekstissä.
Sama tulo näyttömuodossa:
\[
\prod_{i=a}^{b} f(i)
\]
\section{Raja-arvot}
Raja-arvo \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) tekstissä.
Sama raja-arvo näyttömuodossa:
\[
\lim_{x\to\infty} f(x)
\]
\end{document}
```
[Avaa tämä esimerkki Overleafissa](https://www.overleaf.com/docs?engine=lualatex\&snip_name=Integrals%2C+Sums+and+Limits\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BIntegrals%2C+Sums+and+Limits%7D%0A%5Cauthor%7BOverleaf%7D%0A%5Cdate%7B%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Cmaketitle%0A%0A%5Csection%7BIntegrals%7D%0A%0AIntegral+%5C%28%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+dx%5C%29+inside+text.%0A%0A%5Cmedskip%0A%0AThe+same+integral+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+%5C%2Cdx%0A%5C%5D%0Aand+multiple+integrals%3A%0A%5Cbegin%7Bgather%2A%7D%0A++++%5Ciint_V+%5Cmu%28u%2Cv%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiint_V+%5Cmu%28u%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiiint_V+%5Cmu%28t%2Cu%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdt%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Cidotsint_V+%5Cmu%28u_1%2C%5Cdots%2Cu_k%29+%5C%2Cdu_1+%5Cdots+du_k%0A%5C%5C%0A++++%5Coint_V+f%28s%29+%5C%2Cds%0A%5Cend%7Bgather%2A%7D%0A%0A%5Csection%7BSums+and+products%7D%0A%0ASum+%5C%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+sum+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%0A%5C%5D%0A%0AProduct+%5C%28%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+product+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Csection%7BLimits%7D%0A%0ALimit+%5C%28%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+limit+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D)
## Lisälukemista
Lisätietoja on kohdassa
* [Matemaattiset lausekkeet](/latex/fi/matematiikka/01-mathematical-expressions.md)
* [Alaindeksit ja yläindeksit](/latex/fi/matematiikka/02-subscripts-and-superscripts.md)
* [Murtoluvut ja binomit](/latex/fi/matematiikka/05-fractions-and-binomials.md)
* [Näyttötyyli matematiikkatilassa](/latex/fi/matematiikka/10-display-style-in-math-mode.md)
---
# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.
## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:
```
GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fi/matematiikka/09-integrals-sums-and-limits.md?ask=&goal=
```
`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.