> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fr/mathematiques/05-fractions-and-binomials.md). # Fractions et binômes ## Introduction Cet article explique comment composer des fractions et des coefficients binomiaux, en commençant par l'exemple suivant qui utilise le [`amsmath` package](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Le coefficient binomial, \(\binom{n}{k}\), est défini par l'expression : \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Le [`amsmath` package](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) est chargé en ajoutant la ligne suivante au préambule du document : ```latex \usepackage{amsmath} ``` Voici le résultat produit : ![Image montrant la composition LaTeX du coefficient binomial](/files/a6659689b9cf4177413c9861b80f942f72df1e90) ## Affichage des fractions L'apparence visuelle des fractions changera selon qu'elles apparaissent en ligne, au sein d'un paragraphe, ou composées comme un élément autonome affiché sur sa propre ligne. L'exemple suivant montre ces changements d'apparence visuelle : ```latex \documentclass{article} % Utilisation du package geometry pour réduire % la largeur des graphiques de l'article d'aide \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Les fractions peuvent être utilisées en ligne dans le texte du paragraphe, par exemple \(\frac{1}{2}\), ou affichées sur leur propre ligne, comme celui-ci : \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Cet exemple produit le résultat suivant : ![Démonstration des modes mathématiques en ligne et affiché dans LaTeX](/files/2bdc3c7714082f784a965b75f6d6eaab2079d0e1) * **Remarque**: Vous trouverez plus d'informations sur les versions en ligne et affichées des mathématiques dans l'article Overleaf [Style affiché en mode math](/latex/fr/mathematiques/10-display-style-in-math-mode.md). Notre exemple de fraction est composé à l'aide de la `\frac` commande (`\frac{1}{2}`) qui a la forme générale `\frac{*numérateur*}{*dénominateur*}`. ## Fractions en style texte L'exemple suivant montre comment composer des fractions uniquement textuelles en utilisant la `\text{...}` commande fournie par le `amsmath` package. Le `\text{...}` commande est utilisée pour empêcher LaTeX de composer le texte comme du contenu mathématique standard. ```latex \documentclass{article} % Utilisation du package geometry pour réduire % la largeur des graphiques de l'article d'aide \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Pour la commande \text{...} \begin{document} Nous utilisons la commande du package \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| pour créer des fractions uniquement textuelles comme ceci : \[\frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}\] Sans la commande \verb|\text{...}|, le résultat ressemble à ceci : \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Cet exemple produit le résultat suivant : ![Fractions textuelles](/files/529692316663b3c9559bc023889ee77585b21653) ## Taille et espacement dans les mathématiques composées La taille et l'espacement des éléments mathématiques composés par LaTeX sont [déterminés par des algorithmes](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) qui appliquent les données de taille et de positionnement contenues dans les polices utilisées pour composer les mathématiques. Occasionnellement, il peut être nécessaire, ou souhaitable, de remplacer les styles mathématiques par défaut—taille et espacement des éléments mathématiques—choisis par LaTeX, un sujet abordé dans l'article d'aide Overleaf [Style affiché en mode math](/latex/fr/mathematiques/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Pour résumer, le ou les styles par défaut utilisés pour composer les mathématiques peuvent être modifiés par les commandes suivantes : * `\textstyle`: applique le style utilisé pour les mathématiques composées dans les paragraphes ; * `\displaystyle`: applique le style utilisé pour les mathématiques composées sur des lignes isolées ; * `\scriptstyle`: applique le style utilisé pour les indices ou exposants ; * `\scriptscriptstyle`: applique le style utilisé pour les indices ou exposants de second ordre ; qui sont démontrés dans l'exemple suivant. ```latex \documentclass{article} % Utilisation du package geometry pour réduire % la largeur des graphiques de l'article d'aide \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Les fractions composées au sein d'un paragraphe ressemblent généralement à ceci : \(\frac{3x}{2}\). Vous pouvez forcer \LaTeX{} à utiliser le style d'affichage plus grand, comme \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), ce qui a aussi un effet sur l'espacement des lignes. La taille des maths dans un paragraphe peut aussi être réduite : \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) ou \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). Pour l'exemple \verb|\scriptscriptstyle|, notez la réduction de l'espacement : les caractères sont rapprochés du \textit{vinculum} (la ligne séparant le numérateur et le dénominateur). De même, vous pouvez changer le style des mathématiques normalement composées en style affiché : \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{et}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{et}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Ouvrez cet exemple dans Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Cet exemple produit le résultat suivant : ![Image montrant les changements des styles mathématiques par défaut de LaTeX](/files/fec946bf43f130b3bc8a34d806b2f71e11164b51) ## Fractions continues Les fractions peuvent être imbriquées pour obtenir des expressions plus complexes. La deuxième paire de fractions affichées dans l'exemple suivant utilise toutes deux la `\cfrac` commande, conçue spécifiquement pour produire des fractions continues. Pour utiliser `\cfrac` vous devez charger le [`amsmath` package](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) dans le préambule du document. ```latex \documentclass{article} % Utilisation du package geometry pour réduire % la largeur des graphiques de l'article d'aide \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Charger amsmath pour accéder à la commande \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Les fractions peuvent être imbriquées mais, dans cet exemple, notez que les styles mathématiques par défaut, tels qu'utilisés dans le dénominateur, ne produisent pas des résultats idéaux... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...donc nous utilisons \verb|\displaystyle| pour améliorer la composition : \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Voici un exemple qui utilise la commande \texttt{amsmath} \verb|\cfrac| : \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Voici un autre exemple, tiré de la documentation \texttt{amsmath}, qui montre le placement à gauche et à droite du numérateur en utilisant respectivement \verb|\cfrac[l]| et \verb|\cfrac[r]| : \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Cet exemple produit le résultat suivant : ![Graphique démontrant des fractions imbriquées composées en LaTeX](/files/55473870b1ffe85e5249a8c86281775d8f5d04e7) ## Un dernier exemple Cet exemple montre une fraction continue plus complexe : ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Cet exemple produit le résultat suivant : ![Image d'une fraction continue avancée composée par LaTeX](/files/41a37a7e4c75ecfcca82f6e6854ffbbf5da30dbd) ## Lectures complémentaires Pour plus d'informations, voir : * [Expressions mathématiques](/latex/fr/mathematiques/01-mathematical-expressions.md) * [Indices et exposants](/latex/fr/mathematiques/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Crochets et parenthèses](/latex/fr/mathematiques/03-brackets-and-parentheses.md) * [Aligner les équations avec amsmath](/latex/fr/mathematiques/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Opérateurs](/latex/fr/mathematiques/07-operators.md) * [Polices mathématiques](/latex/fr/mathematiques/12-mathematical-fonts.md) * [L'introduction pas si courte à LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/fr/mathematiques/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.