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# Théorèmes et preuves

## Introduction

Les documents mathématiques incluent des éléments qui nécessitent une mise en forme et une numérotation spéciales, comme les théorèmes, définitions, propositions, remarques, corollaires, lemmes, etc. Cet article explique comment définir ces environnements dans LaTeX.

Les environnements numérotés dans LaTeX peuvent être définis au moyen de la commande `\newtheorem` qui prend deux arguments :

```latex
\newtheorem{theorem}{Théorème}
```

* le premier est le nom de l'environnement qui est défini
* le second est le mot qui sera affiché, en gras, au début de l'environnement.

Une fois ce nouvel environnement défini, il peut être utilisé normalement dans le document, délimité par `\begin{theorem}` et `\end{theorem}`. Un exemple est présenté ci-dessous :

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\begin{document}

\section{Introduction}
Les théorèmes peuvent facilement être définis :

\begin{theorem}
Soit \(f\) une fonction dont la dérivée existe en chaque point, alors \(f\)
est une fonction continue.
\end{theorem}
\end{document}
```

[Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Cet exemple produit le résultat suivant :

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/c2b45ea686e188bd58edfcabdf95d1cd56ca9378)

## Théorèmes, définitions, corollaires et lemmes numérotés

La numérotation des environnements peut être contrôlée au moyen de deux paramètres supplémentaires dans la `\newtheorem` commande. Voyons cela :

```latex
\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollaire}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}

\begin{document}
\section{Introduction}
Les théorèmes peuvent facilement être définis :

\begin{theorem}
Soit \(f\) une fonction dont la dérivée existe en chaque point, alors \(f\) est
une fonction continue.
\end{theorem}

\begin{theorem}[théorème de Pythagore]
\label{pythagorean}
C'est un théorème sur les triangles rectangles et il peut être résumé par la
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

Et une conséquence du théorème \ref{pythagorean} est l'énoncé du
corollaire suivant.

\begin{corollary}
Il n'existe aucun rectangle rectangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 6 cm.
\end{corollary}

Vous pouvez faire référence à des théorèmes tels que \ref{pythagorean} lorsqu'une étiquette est attribuée.

\begin{lemma}
Étant donnés deux segments de droite dont les longueurs sont respectivement \(a\) et \(b\), il existe un
nombre réel \(r\) tel que \(b=ra\).
\end{lemma}
```

[Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Cet exemple produit le résultat suivant :

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/0ef293a857622e8dc4948b83b6558550b2c43111)

Trois nouveaux environnements sont définis dans le préambule.

**\newtheorem{theorem}{Théorème}\[section]**

C'est l'exemple présenté dans l'introduction, mais il comporte le paramètre supplémentaire \[section] qui réinitialise le compteur des théorèmes à chaque nouvelle section.

**\newtheorem{corollary}{Corollaire}\[theorem]**

Un environnement appelé corollary est créé ; le compteur de ce nouvel environnement sera réinitialisé chaque fois qu'un nouvel environnement theorem est utilisé.

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemme}**

Dans ce cas, bien qu'un nouvel environnement appelé lemma soit créé, il utilisera le même compteur que l'environnement theorem.

Certains théorèmes célèbres ont leur propre nom ; dans ces cas, vous pouvez ajouter ce nom entre crochets dans la commande d'ouverture de l'environnement. Dans l'exemple, la ligne `\begin{theorem}[théorème de Pythagore]` affiche « théorème de Pythagore » au début du paragraphe.

Comme pour de nombreux autres éléments numérotés dans LaTeX, la commande `\label` peut être utilisée pour faire référence à des environnements de type théorème dans le document.

## Environnements de type théorème non numérotés

Il peut être utile d'avoir un environnement de type théorème non numéroté pour ajouter des remarques, des commentaires ou des exemples à un document mathématique. Le `amsthm` paquet fournit cette fonctionnalité.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Remarque}

\begin{document}
Des environnements de type théorème non numérotés sont également possibles.

\begin{remark}
Cette affirmation est vraie, je suppose.
\end{remark}
\end{document}
```

[Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Cet exemple produit le résultat suivant :

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/c36fe7d88ced4ff5620c2691e80f1568d76817ec)

La syntaxe de la commande `\newtheorem*` est la même que celle de la version sans astérisque, à l'exception des paramètres du compteur. Dans cet exemple, un nouvel environnement non numéroté appelé `remark` est créé.

## Styles de théorème

Une caractéristique importante lorsqu'on travaille sur un document mathématique est de distinguer facilement, par exemple, les définitions des théorèmes grâce à leur mise en forme. Le paquet `amsthm` fournit des commandes spéciales pour y parvenir.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Définition}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Remarque}

\begin{document}
\section{Introduction}
Des environnements de type théorème non numérotés sont également possibles.

\begin{remark}
Cette affirmation est vraie, je suppose.
\end{remark}

Et la suivante est une définition quelque peu informelle

\begin{definition}[Fibration]
Une fibration est une application entre deux espaces topologiques qui possède la propriété de relèvement des homotopies pour tout espace \(X\).
\end{definition}
\end{document}
```

[Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Cet exemple produit le résultat suivant :

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/8bbe84d172ba82289a8c9d735f6741207fa0202a)

La commande `\theoremstyle{ }` définit le style de l'environnement numéroté défini juste en dessous. Dans l'exemple ci-dessus, les styles *remark* et *définition* sont utilisés. Remarquez que la remarque est maintenant en italique et que le texte de l'environnement utilise une police normale (romaine) ; la définition, en revanche, utilise également une police romaine pour le texte qu'elle contient, mais le mot « Définition » est affiché en gras.

Voir le [guide de référence](#reference-guide) pour davantage de styles de théorème.

## Preuves

Les preuves sont au cœur des articles et des livres de mathématiques, et il est d'usage de les distinguer visuellement du texte normal du document. Le `amsthm` paquet fournit l'environnement `proof` pour cela.

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}

\begin{document}
\section{Introduction}
\begin{lemma}
Étant donnés deux segments de droite dont les longueurs sont respectivement \(a\) et \(b\), il
existe un nombre réel \(r\) tel que \(b=ra\).
\end{lemma}

\begin{proof}
Pour le démontrer par l'absurde, essayez de supposer que l'énoncé est faux,
poursuivez à partir de là et, à un moment donné, vous arriverez à une contradiction.
\end{proof}
\end{document}
```

[Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Cet exemple produit le résultat suivant :

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/0e03f7705289cd8fdeef89df7c12954d81135330)

Le mot `Proof` est en italique et il y a un certain espacement supplémentaire ; en outre, un symbole spécial est utilisé pour marquer la fin de la preuve. Ce symbole peut être facilement modifié ; pour savoir comment faire, voir la section suivante.

## Modifier le symbole QED

Le symbole affiché à la fin d'une preuve s'appelle le « symbole QED ». Pour citer la [signification de QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) de Wikipédia :

> QED est un sigle de l'expression latine *quod erat demonstrandum*, qui signifie « ainsi a été démontré »

Il est très simple d'utiliser un symbole, ou une formulation, de votre choix pour représenter le symbole QED. La commande

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

peut être utilisée pour remplacer le carré blanc par défaut par un carré noir affiché par `$\blacksquare$`, le paramètre à l'intérieur des accolades. Ou bien, vous pouvez écrire explicitement le mot QED :

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

Voici un exemple pour illustrer les deux options :

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}

\begin{document}
\section{Introduction}

\begin{lemma}
Étant donnés deux segments de droite dont les longueurs sont respectivement \(a\) et \(b\), il
existe un nombre réel \(r\) tel que \(b=ra\).
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
Pour le démontrer par l'absurde, essayez de supposer que l'énoncé est faux,
poursuivez à partir de là et, à un moment donné, vous arriverez à une contradiction.
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
Pour le démontrer par l'absurde, essayez de supposer que l'énoncé est faux,
poursuivez à partir de là et, à un moment donné, vous arriverez à une contradiction.
\end{proof}
\end{document}
```

[Ouvrez cet exemple dans Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Cet exemple produit le résultat suivant :

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/4dd5a6acfb02cbdeb19c37032233ce1ca6569bb5)

## Guide de référence

***Styles de théorème***

* `définition` titre en gras, corps en romain. Couramment utilisé dans les définitions, conditions, problèmes et exemples.
* `simple` titre en gras, corps en italique. Couramment utilisé dans les théorèmes, lemmes, corollaires, propositions et conjectures.
* `remark` titre en italique, corps en romain. Couramment utilisé dans les remarques, notes, annotations, assertions, cas, remerciements et conclusions.

## Lectures complémentaires

Pour plus d'informations, voir :

* [Expressions mathématiques](/latex/fr/mathematiques/01-mathematical-expressions.md)
* [Environnements](/latex/fr/commandes/02-environments.md)
* [Style affiché en mode math](/latex/fr/mathematiques/10-display-style-in-math-mode.md)
* [Liste des lettres grecques et des symboles mathématiques](/latex/fr/mathematiques/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Polices mathématiques](/latex/fr/mathematiques/12-mathematical-fonts.md)
* [Projets LaTeX multi-fichiers](/latex/fr/structure-du-document/08-multi-file-latex-projects.md)
* [Référencement croisé des sections et des équations](/latex/fr/structure-du-document/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [Hyperliens](/latex/fr/structure-du-document/09-hyperlinks.md)
* [Le **amsthm** documentation du paquet](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


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