> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/id/bidang-khusus/01-theorems-and-proofs.md). # Teorema dan pembuktian ## Pendahuluan Dokumen matematika mencakup elemen-elemen yang memerlukan pemformatan dan penomoran khusus seperti teorema, definisi, proposisi, catatan, korolari, lemma, dan sebagainya. Artikel ini menjelaskan cara mendefinisikan lingkungan-lingkungan ini di LaTeX. Lingkungan bernomor dalam LaTeX dapat didefinisikan dengan perintah `\newtheorem` yang mengambil dua argumen: ```latex \newtheorem{theorem}{Teorema} ``` * yang pertama adalah nama lingkungan yang didefinisikan * yang kedua adalah kata yang akan dicetak, dengan huruf tebal, pada awal lingkungan. Setelah lingkungan baru ini didefinisikan, ia dapat digunakan secara normal di dalam dokumen, dibatasi oleh `\begin{theorem}` dan `\end{theorem}`. Contoh disajikan di bawah ini: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Teorema} \begin{document} \section{Pendahuluan} Teorema dapat dengan mudah didefinisikan: \begin{theorem} Misalkan \(f\) adalah fungsi yang turunannya ada di setiap titik, maka \(f\) adalah fungsi kontinu. \end{theorem} \end{document} ``` [Buka contoh ini di Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Contoh ini menghasilkan keluaran berikut: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/eaa809ac182795d0bf062aac8911d8ec51ed9795) ## Teorema, definisi, korolari, dan lemma bernomor Penomoran lingkungan-lingkungan tersebut dapat dikendalikan dengan dua parameter tambahan pada `\newtheorem` perintah. Mari kita lihat: ```latex \newtheorem{theorem}{Teorema}[section] \newtheorem{corollary}{Korolari}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Pendahuluan} Teorema dapat dengan mudah didefinisikan: \begin{theorem} Misalkan \(f\) adalah fungsi yang turunannya ada di setiap titik, maka \(f\) adalah fungsi kontinu. \end{theorem} \begin{theorem}[Teorema Pythagoras] \label{pythagorean} Ini adalah teorema tentang segitiga siku-siku dan dapat diringkas dalam equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} Dan konsekuensi dari teorema \ref{pythagorean} adalah pernyataan pada korolari berikut. \begin{corollary} Tidak ada persegi panjang siku-siku yang sisinya berukuran 3 cm, 4 cm, dan 6 cm. \end{corollary} Anda dapat mereferensikan teorema seperti \ref{pythagorean} ketika sebuah label ditetapkan. \begin{lemma} Diberikan dua ruas garis yang panjangnya masing-masing \(a\) dan \(b\), terdapat sebuah bilangan real \(r\) sehingga \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Buka contoh ini di Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Contoh ini menghasilkan keluaran berikut: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/fe03126cb38bf211fafed61f88a3266c7390ac8b) Ada tiga lingkungan baru yang didefinisikan di preambel. **\newtheorem{theorem}{Teorema}\[section]** Ini adalah contoh yang disajikan dalam pendahuluan tetapi memiliki parameter tambahan \[section] yang mengatur ulang penghitung teorema pada setiap bagian baru. **\newtheorem{corollary}{Korolari}\[theorem]** Sebuah lingkungan bernama korolari dibuat, penghitung lingkungan baru ini akan diatur ulang setiap kali lingkungan teorema baru digunakan. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** Dalam kasus ini, meskipun sebuah lingkungan baru bernama lemma dibuat, ia akan menggunakan penghitung yang sama seperti lingkungan teorema. Beberapa teorema terkenal memiliki nama sendiri; untuk kasus-kasus ini Anda dapat menambahkan nama tersebut di dalam tanda kurung pada perintah pembuka lingkungan. Dalam contoh, baris `\begin{theorem}[Teorema Pythagoras]` mencetak "Teorema Pythagoras" pada awal paragraf. Seperti banyak elemen bernomor lainnya di LaTeX, perintah `\label` dapat digunakan untuk mereferensikan lingkungan mirip-teorema di dalam dokumen. ## Lingkungan mirip-teorema tanpa nomor Dapat berguna memiliki lingkungan mirip-teorema tanpa nomor untuk menambahkan catatan, komentar, atau contoh ke dokumen matematika. Paket `amsthm` menyediakan fungsionalitas ini. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Catatan} \begin{document} Lingkungan mirip-teorema tanpa nomor juga dimungkinkan. \begin{remark} Pernyataan ini benar, kurasa. \end{remark} \end{document} ``` [Buka contoh ini di Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Contoh ini menghasilkan keluaran berikut: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/596e712c02f5bcbda0f45978a16a29ab40eb70a0) Sintaks dari perintah `\newtheorem*` sama seperti versi tanpa tanda bintang, kecuali untuk parameter penghitung. Dalam contoh ini sebuah lingkungan baru tanpa nomor bernama `remark` dibuat. ## Gaya teorema Sebuah fitur yang penting saat bekerja dengan dokumen matematika adalah dengan mudah membedakan, misalnya, definisi dari teorema melalui pemformatannya. Paket `amsthm` menyediakan perintah-perintah khusus untuk mencapai ini. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Catatan} \begin{document} \section{Pendahuluan} Lingkungan mirip-teorema tanpa nomor juga dimungkinkan. \begin{remark} Pernyataan ini benar, kurasa. \end{remark} Dan yang berikut ini adalah definisi yang agak informal \begin{definition}[Fibrasi] Fibrasi adalah pemetaan antara dua ruang topologi yang memiliki sifat pengangkatan homotopi untuk setiap ruang \(X\). \end{definition} \end{document} ``` [Buka contoh ini di Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Contoh ini menghasilkan keluaran berikut: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/4c08716f4e60c467e6ce4d11a5d8311c87b20090) Perintah `\theoremstyle{ }` mengatur gaya untuk lingkungan bernomor yang didefinisikan tepat di bawahnya. Pada contoh di atas, gaya *remark* dan *definition* digunakan. Perhatikan bahwa remark sekarang dicetak miring dan teks dalam lingkungan menggunakan tipe huruf normal (Roman), sedangkan definisi di sisi lain juga menggunakan tipe huruf Roman untuk teks di dalamnya tetapi kata "Definisi" dicetak dengan huruf tebal. Lihat [panduan referensi](#reference-guide) untuk gaya teorema lainnya. ## Bukti Bukti merupakan inti dari makalah dan buku matematika dan lazim untuk memisahkannya secara visual dari teks biasa dalam dokumen. Paket `amsthm` menyediakan lingkungan `proof` untuk ini. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Teorema}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Pendahuluan} \begin{lemma} Diberikan dua ruas garis yang panjangnya masing-masing \(a\) dan \(b\), terdapat bilangan real \(r\) sehingga \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Untuk membuktikannya dengan kontradiksi, cobalah mengasumsikan bahwa pernyataannya salah, lanjutkan dari sana dan pada suatu titik Anda akan sampai pada kontradiksi. \end{proof} \end{document} ``` [Buka contoh ini di Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Contoh ini menghasilkan keluaran berikut: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/a639709b8322b4ec125bc4224da31bdf650ff4a9) Kata `Bukti` dicetak miring dan ada sedikit spasi tambahan, juga sebuah simbol khusus digunakan untuk menandai akhir bukti. Simbol ini dapat dengan mudah diubah; untuk mempelajari caranya lihat bagian berikutnya. ## Mengubah simbol QED Simbol yang dicetak pada akhir sebuah bukti disebut “simbol QED”. Mengutip [arti QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) dari Wikipedia: > QED adalah singkatan dari frasa Latin *quod erat demonstrandum*, yang berarti “dengan demikian telah dibuktikan” Sangat mudah untuk menggunakan simbol, atau kata-kata, pilihan Anda untuk mewakili simbol QED. Perintah ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` dapat digunakan untuk mengganti bujur sangkar putih bawaan dengan bujur sangkar hitam yang dicetak oleh `$\blacksquare$`, parameter di dalam kurung kurawal. Atau, Anda dapat menuliskan kata QED secara eksplisit: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Berikut adalah contoh untuk mendemonstrasikan kedua opsi: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Teorema}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Pendahuluan} \begin{lemma} Diberikan dua ruas garis yang panjangnya masing-masing \(a\) dan \(b\), terdapat bilangan real \(r\) sehingga \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Untuk membuktikannya dengan kontradiksi, cobalah mengasumsikan bahwa pernyataannya salah, lanjutkan dari sana dan pada suatu titik Anda akan sampai pada kontradiksi. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Untuk membuktikannya dengan kontradiksi, cobalah mengasumsikan bahwa pernyataannya salah, lanjutkan dari sana dan pada suatu titik Anda akan sampai pada kontradiksi. \end{proof} \end{document} ``` [Buka contoh ini di Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Contoh ini menghasilkan keluaran berikut: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/e59205a719b685bd8d30ce4c056c8cfb9fa173c5) ## Panduan referensi ***Gaya teorema*** * `definition` judul tebal, isi Roman. Umumnya digunakan dalam definisi, kondisi, masalah, dan contoh. * `plain` judul tebal, isi miring. Umumnya digunakan dalam teorema, lemma, korolari, proposisi, dan konjektur. * `remark` judul miring, isi Roman. Umumnya digunakan dalam catatan, nota, anotasi, klaim, kasus, ucapan terima kasih, dan kesimpulan. ## Bacaan lanjutan Untuk informasi lebih lanjut lihat: * [Ekspresi matematika](/latex/id/matematika/01-mathematical-expressions.md) * [Lingkungan](/latex/id/perintah/02-environments.md) * [Gaya tampilan dalam mode matematika](/latex/id/matematika/10-display-style-in-math-mode.md) * [Daftar huruf Yunani dan simbol matematika](/latex/id/matematika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Font matematika](/latex/id/matematika/12-mathematical-fonts.md) * [Proyek LaTeX multi-berkas](/latex/id/struktur-dokumen/08-multi-file-latex-projects.md) * [Referensi silang bagian dan persamaan](/latex/id/struktur-dokumen/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hyperlink](/latex/id/struktur-dokumen/09-hyperlinks.md) * [Fitur **amsthm** dokumentasi paket](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/id/bidang-khusus/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.