> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/it/matematica/05-fractions-and-binomials.md). # Frazioni e binomi ## Introduzione Questo articolo spiega come impaginare frazioni e coefficienti binomiali, iniziando con il seguente esempio che usa il [`amsmath` che fornisce i comandi e le funzionalità necessarie per includere file grafici esterni. L'esempio sopra carica il](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Il coefficiente binomiale, \(\binom{n}{k}\), è definito dall'espressione: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Apri questo esempio in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Il [`amsmath` che fornisce i comandi e le funzionalità necessarie per includere file grafici esterni. L'esempio sopra carica il](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) si carica aggiungendo la seguente riga al preambolo del documento: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Ecco l'output prodotto: ![Immagine che mostra la composizione tipografica in LaTeX del coefficiente binomiale](/files/97159e2dee3c71ba4807934eea63b9c7d6286045) ## Visualizzazione delle frazioni L'aspetto visivo delle frazioni cambierà a seconda che compaiano in linea, come parte di un paragrafo, oppure composte come materiale autonomo visualizzato su una riga separata. Il prossimo esempio dimostra questi cambiamenti nell'aspetto visivo: ```latex \documentclass{article} % Usando il pacchetto geometry per ridurre % la larghezza delle immagini dell'articolo di aiuto \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Le frazioni possono essere usate in linea nel testo del paragrafo, ad esempio \(\frac{1}{2}\), oppure visualizzate su una riga a parte, come questa: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Apri questo esempio in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Questo esempio produce il seguente output: ![Dimostrazione delle modalità matematiche in linea e in display in LaTeX](/files/f7aa7427381cd74abb8f0858f5d6c2a9b5deffb1) * **Nota**: Maggiori informazioni sulle versioni in linea e in display della matematica si trovano nell'articolo di Overleaf [Stile display in modalità matematica](/latex/it/matematica/10-display-style-in-math-mode.md). La nostra frazione di esempio è composta usando il `\frac` comando (`\frac{1}{2}`) che ha la forma generale `\frac{*numeratore*}{*denominatore*}`. ## Frazioni in stile testo Il seguente esempio dimostra la composizione tipografica di frazioni solo testo usando il `\text{...}` comando fornito dal `amsmath` pacchetto. Il `\text{...}` comando viene usato per impedire a LaTeX di comporre il testo come normale contenuto matematico. ```latex \documentclass{article} % Usando il pacchetto geometry per ridurre % la larghezza delle immagini dell'articolo di aiuto \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Per il comando \text{...} \begin{document} Usiamo il comando del pacchetto \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| per creare frazioni solo testo così: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Senza il comando \verb|\text{...}| il risultato è così: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Apri questo esempio in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Questo esempio produce il seguente output: ![Frazioni testuali](/files/7cf4567dd98c72608a39795010eb96eb410ec4ce) ## Dimensione e spaziatura nella matematica composta La dimensione e la spaziatura del materiale matematico composto da LaTeX sono [determinate da algoritmi](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) che applicano i dati di dimensione e posizionamento contenuti nei font usati per comporre la matematica. Occasionalmente, può essere necessario, o desiderabile, sovrascrivere gli stili matematici predefiniti—dimensione e spaziatura degli elementi matematici—scelti da LaTeX, un argomento trattato nell'articolo di aiuto di Overleaf [Stile display in modalità matematica](/latex/it/matematica/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). In sintesi, gli stili predefiniti usati per comporre la matematica possono essere cambiati con i seguenti comandi: * `\textstyle`: applica lo stile usato per la matematica composta nei paragrafi; * `\displaystyle`: applica lo stile usato per la matematica composta su righe separate; * `\scriptstyle`: applica lo stile usato per pedici o apici; * `\scriptscriptstyle`: applica lo stile usato per pedici o apici di secondo livello; che sono dimostrati nel prossimo esempio. ```latex \documentclass{article} % Usando il pacchetto geometry per ridurre % la larghezza delle immagini dell'articolo di aiuto \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Le frazioni composte all'interno di un paragrafo appaiono tipicamente così: \(\frac{3x}{2}\). Puoi forzare \LaTeX{} a usare lo stile display più grande, ad esempio \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), che ha anche un effetto sulla spaziatura tra le righe. La dimensione della matematica in un paragrafo può anche essere ridotta: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) oppure \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). Per l'esempio \verb|\scriptscriptstyle| nota la riduzione della spaziatura: i caratteri vengono avvicinati al \textit{vinculum} (la linea che separa numeratore e denominatore). Allo stesso modo, puoi cambiare lo stile della matematica normalmente composta in modalità display: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{e}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{e}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Apri questo esempio in Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Questo esempio produce il seguente output: ![Immagine che mostra le modifiche agli stili matematici predefiniti di LaTeX](/files/7871eebc9808bc3fe0e4918ec2a401bb78a75538) ## Frazioni continue Le frazioni possono essere annidate per ottenere espressioni più complesse. La seconda coppia di frazioni mostrata nel seguente esempio usa entrambe il `\cfrac` comando, progettato appositamente per produrre frazioni continue. Per usare `\cfrac` devi caricare il [`amsmath` che fornisce i comandi e le funzionalità necessarie per includere file grafici esterni. L'esempio sopra carica il](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) nel preambolo del documento. ```latex \documentclass{article} % Usando il pacchetto geometry per ridurre % la larghezza delle immagini dell'articolo di aiuto \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Carica amsmath per accedere al comando \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Le frazioni possono essere annidate ma, in questo esempio, nota come gli stili matematici predefiniti, come usati nel denominatore, non producano risultati ideali... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...quindi usiamo \verb|\displaystyle| per migliorare la composizione tipografica: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Ecco un esempio che usa il comando \verb|\cfrac| del pacchetto \texttt{amsmath}: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Ecco un altro esempio, tratto dalla documentazione di \texttt{amsmath}, che dimostra l'allineamento a sinistra e a destra del numeratore usando rispettivamente \verb|\cfrac[l]| e \verb|\cfrac[r]|: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Apri questo esempio in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Questo esempio produce il seguente output: ![Grafico che dimostra frazioni contenute composte in LaTeX](/files/89391e8c5ebd61b85d8a616728b9b91ff839f465) ## Un ultimo esempio Questo esempio mostra una frazione continua più complessa: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Apri questo esempio in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Questo esempio produce il seguente output: ![Immagine di una frazione continua avanzata composta in LaTeX](/files/e6f6d4bd683a983fe80844ad5218db3751f90d7d) ## Approfondimenti Per ulteriori informazioni vedi: * [Espressioni matematiche](/latex/it/matematica/01-mathematical-expressions.md) * [Pedici e apici](/latex/it/matematica/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Parentesi quadre e tonde](/latex/it/matematica/03-brackets-and-parentheses.md) * [Allineare le equazioni con amsmath](/latex/it/matematica/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operatori](/latex/it/matematica/07-operators.md) * [Caratteri matematici](/latex/it/matematica/12-mathematical-fonts.md) * [L'introduzione non proprio breve a LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/it/matematica/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.