> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/nl/vakspecifiek/01-theorems-and-proofs.md). # Stellingen en bewijzen ## Inleiding Wiskundige documenten bevatten elementen die speciale opmaak en nummering vereisen, zoals stellingen, definities, proposities, opmerkingen, gevolgtrekkingen, lemma's enzovoort. Dit artikel legt uit hoe je deze omgevingen in LaTeX definieert. Genummerde omgevingen in LaTeX kunnen worden gedefinieerd met behulp van het commando `\newtheorem` dat twee argumenten neemt: ```latex \newtheorem{theorem}{Stelling} ``` * de eerste is de naam van de omgeving die wordt gedefinieerd * de tweede is het woord dat, in vetgedrukte letters, aan het begin van de omgeving wordt afgedrukt. Zodra deze nieuwe omgeving is gedefinieerd, kan zij normaal binnen het document worden gebruikt, afgebakend door `\begin{theorem}` en `\end{theorem}`. Hieronder wordt een voorbeeld gegeven: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Stelling} \begin{document} \section{Introduction} Stellingen kunnen eenvoudig worden gedefinieerd: \begin{theorem} Laat \(f\) een functie zijn waarvan de afgeleide in elk punt bestaat, dan is \(f\) een continue functie. \end{theorem} \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/b3924c83c899b2cff6b0ac12264fb1e38132cb49) ## Genummerde stellingen, definities, gevolgtrekkingen en lemma's De nummering van de omgevingen kan worden geregeld met behulp van twee extra parameters in het `\newtheorem` commando. Laten we eens kijken: ```latex \newtheorem{theorem}{Stelling}[section] \newtheorem{corollary}{Gevolgtrekking}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} Stellingen kunnen eenvoudig worden gedefinieerd: \begin{theorem} Laat \(f\) een functie zijn waarvan de afgeleide in elk punt bestaat, dan is \(f\) een continue functie. \end{theorem} \begin{theorem}[Stelling van Pythagoras] \label{pythagorean} Dit is een stelling over rechthoekige driehoeken en kan worden samengevat in de volgende equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} En een gevolg van stelling \ref{pythagorean} is de uitspraak in de volgende gevolgtrekking. \begin{corollary} Er bestaat geen rechthoek met zijden van 3 cm, 4 cm en 6 cm. \end{corollary} Je kunt naar stellingen zoals \ref{pythagorean} verwijzen wanneer er een label is toegewezen. \begin{lemma} Gegeven twee lijnstukken met respectievelijk lengtes \(a\) en \(b\) is er een reëel getal \(r\) zodat \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/abb80287d96a04eb72447c0727c9fe97258b4d0c) Er zijn drie nieuwe omgevingen gedefinieerd in de preambule. **\newtheorem{theorem}{Stelling}\[section]** Dit is het voorbeeld dat in de inleiding wordt gepresenteerd, maar het heeft de extra parameter \[section] die de teller voor stellingen bij elke nieuwe sectie opnieuw start. **\newtheorem{corollary}{Gevolgtrekking}\[theorem]** Er wordt een omgeving genaamd gevolgtrekking aangemaakt; de teller van deze nieuwe omgeving wordt elke keer gereset wanneer een nieuwe stellingomgeving wordt gebruikt. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** In dit geval zal, hoewel een nieuwe omgeving genaamd lemma wordt aangemaakt, deze dezelfde teller gebruiken als de stellingomgeving. Sommige beroemde stellingen hebben hun eigen naam; voor deze gevallen kun je die naam tussen haakjes toevoegen in het openingscommando van de omgeving. In het voorbeeld zet de regel `\begin{theorem}[Stelling van Pythagoras]` drukt "Stelling van Pythagoras" aan het begin van de alinea af. Net als bij veel andere genummerde elementen in LaTeX kan het commando `\label` worden gebruikt om naar stellingachtige omgevingen binnen het document te verwijzen. ## Ongenummerde stellingachtige omgevingen Het kan nuttig zijn om een ongenummerde stellingachtige omgeving te hebben om opmerkingen, commentaren of voorbeelden aan een wiskundig document toe te voegen. Het `amsthm` pakket biedt deze functionaliteit. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Opmerking} \begin{document} Ongenummerde stellingachtige omgevingen zijn ook mogelijk. \begin{remark} Deze uitspraak is waar, denk ik. \end{remark} \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/414348a5e9b5abafd5e00ab5e9f282704080a155) De syntaxis van het commando `\newtheorem*` is hetzelfde als de versie zonder ster, behalve voor de tellerparameters. In dit voorbeeld wordt een nieuwe ongenummerde omgeving genaamd `remark` gemaakt. ## Stijlvarianten voor stellingen Een belangrijk kenmerk bij het werken aan een wiskundig document is dat je bijvoorbeeld definities gemakkelijk van stellingen kunt onderscheiden aan hun opmaak. Het pakket `amsthm` biedt speciale commando's om dit te doen. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definitie}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Opmerking} \begin{document} \section{Introduction} Ongenummerde stellingachtige omgevingen zijn ook mogelijk. \begin{remark} Deze uitspraak is waar, denk ik. \end{remark} En het volgende is een enigszins informele definitie \begin{definition}[Fibratie] Een fibratie is een afbeelding tussen twee topologische ruimten die voor elke ruimte \(X\) de homotopie-liftingseigenschap heeft. \end{definition} \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/43671abacbf4e1fd2649d0b10970fa91838e502c) Het commando `\theoremstyle{ }` stelt de opmaak in voor de genummerde omgeving die direct eronder wordt gedefinieerd. In het bovenstaande voorbeeld worden de stijlen *remark* en *definition* gebruikt. Merk op dat de opmerking nu cursief staat en dat de tekst in de omgeving in een normaal (Romeins) lettertype wordt weergegeven; de definitie gebruikt daarentegen ook een Romeins lettertype voor de tekst binnenin, maar het woord "Definitie" wordt in vetgedrukte letters afgedrukt. Zie de [naslaggids](#reference-guide) voor meer stijlvarianten voor stellingen. ## Bewijzen Bewijzen vormen de kern van wiskundige artikelen en boeken, en het is gebruikelijk om ze visueel gescheiden te houden van de gewone tekst in het document. Het `amsthm` pakket biedt de omgeving `proof` hiervoor. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Stelling}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} \begin{lemma} Gegeven twee lijnstukken met respectievelijk lengtes \(a\) en \(b\) is er een reëel getal \(r\) zodat \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Om het door tegenspraak te bewijzen, probeer aan te nemen dat de uitspraak onwaar is, ga van daaruit verder en op een gegeven moment kom je tot een tegenspraak. \end{proof} \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/8bfeba314b6b2f5abb3f70967df35a692016c281) Het woord `Bewijs` staat cursief en er is wat extra ruimte; ook wordt een speciaal symbool gebruikt om het einde van het bewijs aan te geven. Dit symbool kan eenvoudig worden gewijzigd; om te leren hoe, zie de volgende sectie. ## Het QED-symbool wijzigen Het symbool dat aan het einde van een bewijs wordt afgedrukt, wordt het “QED-symbool” genoemd. Om Wikipedia te citeren: [betekenis van QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) van Wikipedia: > QED is een initiaalwoord van de Latijnse uitdrukking *quod erat demonstrandum*, wat betekent “dus het is bewezen” Het is eenvoudig om een symbool of bewoording naar keuze te gebruiken om het QED-symbool weer te geven. Het commando ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` kan worden gebruikt om het standaard witte vierkant te vervangen door een zwart vierkant dat wordt afgedrukt door `$\blacksquare$`, de parameter tussen de accolades. Of je kunt het woord QED expliciet schrijven: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Hier is een voorbeeld om beide opties te demonstreren: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Stelling}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduction} \begin{lemma} Gegeven twee lijnstukken met respectievelijk lengtes \(a\) en \(b\) is er een reëel getal \(r\) zodat \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Om het door tegenspraak te bewijzen, probeer aan te nemen dat de uitspraak onwaar is, ga van daaruit verder en op een gegeven moment kom je tot een tegenspraak. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Om het door tegenspraak te bewijzen, probeer aan te nemen dat de uitspraak onwaar is, ga van daaruit verder en op een gegeven moment kom je tot een tegenspraak. \end{proof} \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/fe18c8eaec463b7d1d1521ccd18d522a9b93dade) ## Naslaggids ***Stijlvarianten voor stellingen*** * `definition` vetgedrukte titel, Romeinse hoofdtekst. Vaak gebruikt in definities, voorwaarden, problemen en voorbeelden. * `plain` vetgedrukte titel, cursieve hoofdtekst. Vaak gebruikt in stellingen, lemma's, gevolgtrekkingen, proposities en vermoedens. * `remark` cursieve titel, Romeinse hoofdtekst. Vaak gebruikt in opmerkingen, notities, annotaties, beweringen, gevallen, dankbetuigingen en conclusies. ## Verder lezen Zie voor meer informatie: * [Wiskundige uitdrukkingen](/latex/nl/wiskunde/01-mathematical-expressions.md) * [Omgevingen](/latex/nl/opdrachten/02-environments.md) * [Weergavestijl in wiskundemodus](/latex/nl/wiskunde/10-display-style-in-math-mode.md) * [Lijst van Griekse letters en wiskundige symbolen](/latex/nl/wiskunde/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Wiskundige lettertypen](/latex/nl/wiskunde/12-mathematical-fonts.md) * [LaTeX-projecten met meerdere bestanden](/latex/nl/documentstructuur/08-multi-file-latex-projects.md) * [Verwijzen tussen secties en vergelijkingen](/latex/nl/documentstructuur/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hyperlinks](/latex/nl/documentstructuur/09-hyperlinks.md) * [De **amsthm** pakkettendocumentatie](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/nl/vakspecifiek/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.