> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/nl/wiskunde/05-fractions-and-binomials.md). # Breuken en binomiale coëfficiënten ## Inleiding Dit artikel legt uit hoe breuken en binomiaalcoëfficiënten worden gezet, te beginnen met het volgende voorbeeld dat de [`amsmath` pakket](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} De binomiaalcoëfficiënt, \(\binom{n}{k}\), wordt gedefinieerd door de uitdrukking: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) De [`amsmath` pakket](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) wordt geladen door de volgende regel toe te voegen aan de documentpreambule: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Hier is de geproduceerde uitvoer: ![Afbeelding die de LaTeX-opmaak van de binomiaalcoëfficiënt toont](/files/eae2c9a1ec8d2b795454e256651b237ae644b3a7) ## Breuken weergeven Het visuele uiterlijk van breuken verandert afhankelijk van het feit of ze inline voorkomen, als onderdeel van een alinea, of als op zichzelf staand materiaal op een eigen regel worden gezet. Het volgende voorbeeld demonstreert deze veranderingen in het visuele uiterlijk: ```latex \documentclass{article} % Met behulp van het geometry-pakket om de % breedte van de afbeeldingen in het helpartikel te verkleinen \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Breuken kunnen inline binnen de alineatekst worden gebruikt, bijvoorbeeld voor bijvoorbeeld \(\frac{1}{2}\), of op een eigen regel zoals deze hebben: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![Demonstratie van inline- en weergavemathmodi in LaTeX](/files/9ace3d5561698a48e471a502b705ccfee8ab4982) * **Opmerking**: Meer informatie over inline- en weergaveversies van wiskunde is te vinden in het Overleaf-artikel [Weergavestijl in wiskundemodus](/latex/nl/wiskunde/10-display-style-in-math-mode.md). Ons voorbeeld van een breuk wordt gezet met behulp van de `\frac` opdracht (`\frac{1}{2}`) die de algemene vorm heeft `\frac{*teller*}{*noemer*}`. ## Breuken in tekststijl Het volgende voorbeeld demonstreert het zetten van breuken die alleen uit tekst bestaan door gebruik te maken van de `\text{...}` opdracht die wordt geleverd door de `amsmath` pakket. De `\text{...}` opdracht wordt gebruikt om te voorkomen dat LaTeX de tekst zet als gewone wiskundige inhoud. ```latex \documentclass{article} % Met behulp van het geometry-pakket om de % breedte van de afbeeldingen in het helpartikel te verkleinen \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Voor de \text{...}-opdracht \begin{document} We gebruiken de \texttt{amsmath}-pakketopdracht \verb|\text{...}| om breuken die alleen uit tekst bestaan te maken als volgt: \[\frac{\text{teller}}{\text{noemer}}\] Zonder de \verb|\text{...}|-opdracht ziet het resultaat ziet er als volgt uit: \[\frac{teller}{noemer}\] \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![Tekstuele breuken](/files/1e2dd9afd5cf2d85a88a628510973e16ded2f31d) ## Grootte en spatiëring binnen opgemaakte wiskunde De grootte en spatiëring van wiskundig materiaal dat door LaTeX wordt opgemaakt, wordt [bepaald door algoritmen](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) die grootte- en positioneringsgegevens toepassen die zijn opgenomen in de lettertypen die worden gebruikt om wiskunde op te maken. Soms kan het nodig of wenselijk zijn om de standaard wiskundestijlen — grootte en spatiëring van wiskundige elementen — die door LaTeX zijn gekozen, te overschrijven, een onderwerp dat wordt besproken in het Overleaf-helpartikel [Weergavestijl in wiskundemodus](/latex/nl/wiskunde/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Samengevat kan(nen) de standaardstijl(en) die worden gebruikt om wiskunde op te maken, worden gewijzigd met de volgende opdrachten: * `\textstyle`: past de stijl toe die wordt gebruikt voor wiskunde die in alinea's wordt opgemaakt; * `\displaystyle`: past de stijl toe die wordt gebruikt voor wiskunde die op afzonderlijke regels wordt opgemaakt; * `\scriptstyle`: past de stijl toe die wordt gebruikt voor sub- of superscripten; * `\scriptscriptstyle`: past de stijl toe die wordt gebruikt voor sub- of superscripten van de tweede orde; die in het volgende voorbeeld worden gedemonstreerd. ```latex \documentclass{article} % Met behulp van het geometry-pakket om de % breedte van de afbeeldingen in het helpartikel te verkleinen \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Breuken die binnen een alinea worden opgemaakt, zien er doorgaans zo uit: \(\frac{3x}{2}\). U kunt \LaTeX{} dwingen de grotere displaystijl te gebruiken, zoals \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), wat ook invloed heeft op de regelafstand. De grootte van wiskunde in een alinea kan ook worden verkleind: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) of \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). Let bij het \verb|\scriptscriptstyle|-voorbeeld op de kleinere spatiëring: tekens komen dichter bij de \textit{vinculum} (de lijn die teller en noemer scheidt). Evenzo kunt u de stijl van wiskunde die normaal in displaystijl wordt gezet, wijzigen: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{en}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{en}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![Afbeelding die veranderingen in de standaard wiskundestijlen van LaTeX toont](/files/43f98bbf2ffa304aa01135857ef31eeb82be57cf) ## Aaneengeschakelde breuken Breuken kunnen worden genest om complexere uitdrukkingen te verkrijgen. Het tweede paar breuken dat in het volgende voorbeeld wordt weergegeven, gebruikt beide de `\cfrac` opdracht, die speciaal is ontworpen om aaneengeschakelde breuken te produceren. Om `\cfrac` te gebruiken, moet u de [`amsmath` pakket](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) in de documentpreambule laden. ```latex \documentclass{article} % Met behulp van het geometry-pakket om de % breedte van de afbeeldingen in het helpartikel te verkleinen \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Laad amsmath om toegang te krijgen tot de \cfrac{...}{...}-opdracht \usepackage{amsmath} \begin{document} Breuken kunnen worden genest, maar in dit voorbeeld ziet u dat de standaard wiskundestijlen, zoals gebruikt in de noemer, geen ideaal resultaat opleveren... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...dus gebruiken we \verb|\displaystyle| om de opmaak te verbeteren: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Hier is een voorbeeld dat de \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|-opdracht gebruikt: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Hier is nog een voorbeeld, afgeleid uit de documentatie van \texttt{amsmath}, dat de linker- en rechterplaatsing van de teller demonstreert met respectievelijk \verb|\cfrac[l]| en \verb|\cfrac[r]|: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![Afbeelding die ingesloten breuken demonstreert die in LaTeX zijn opgemaakt](/files/cced35561a5292830c2464332abe13bc3268b7bb) ## Een laatste voorbeeld Dit voorbeeld demonstreert een complexere aaneengeschakelde breuk: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Open dit voorbeeld in Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dit voorbeeld levert de volgende uitvoer op: ![Afbeelding van een geavanceerde aaneengeschakelde breuk, opgemaakt door LaTeX](/files/9bf992b07f17da1807f28a07dba212adc04f4c48) ## Verder lezen Zie voor meer informatie: * [Wiskundige uitdrukkingen](/latex/nl/wiskunde/01-mathematical-expressions.md) * [Subscripts en superscripts](/latex/nl/wiskunde/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Haken en haakjes](/latex/nl/wiskunde/03-brackets-and-parentheses.md) * [Vergelijkingen uitlijnen met amsmath](/latex/nl/wiskunde/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operatoren](/latex/nl/wiskunde/07-operators.md) * [Wiskundige lettertypen](/latex/nl/wiskunde/12-mathematical-fonts.md) * [De niet zo korte introductie tot LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/nl/wiskunde/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.