> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/no/fagspesifikt/01-theorems-and-proofs.md). # Teoremer og bevis ## Innledning Matematiske dokumenter inneholder elementer som krever spesiell formatering og nummerering, som teoremer, definisjoner, proposisjoner, bemerkninger, korollarer, lemmaer og så videre. Denne artikkelen forklarer hvordan disse miljøene defineres i LaTeX. Nummererte miljøer i LaTeX kan defineres ved hjelp av kommandoen `\newtheorem` som tar to argumenter: ```latex \newtheorem{theorem}{Teorem} ``` * det første er navnet på miljøet som defineres * det andre er ordet som vil bli skrevet ut, i fet skrift, i begynnelsen av miljøet. Når dette nye miljøet er definert, kan det brukes normalt i dokumentet, avgrenset av `\begin{theorem}` og `\end{theorem}`. Et eksempel er vist nedenfor: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Teorem} \begin{document} \section{Innledning} Teoremer kan enkelt defineres: \begin{theorem} La \(f\) være en funksjon som har deriverte i hvert punkt, da er \(f\) en kontinuerlig funksjon. \end{theorem} \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/6eff512ab0187199e8decfff7dc1ff4fa27aceba) ## Nummererte teoremer, definisjoner, korollarer og lemmaer Nummereringen av miljøene kan styres ved hjelp av to ekstra parametere i `\newtheorem` kommandoen. La oss se: ```latex \newtheorem{theorem}{Teorem}[section] \newtheorem{corollary}{Korollar}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Innledning} Teoremer kan enkelt defineres: \begin{theorem} La \(f\) være en funksjon som har deriverte i hvert punkt, da er \(f\) en kontinuerlig funksjon. \end{theorem} \begin{theorem}[Pytagoras' teorem] \label{pythagorean} Dette er et teorem om rettvinklede trekanter og kan oppsummeres i det neste equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} Og en konsekvens av teorem \ref{pythagorean} er påstanden i det neste korollar. \begin{corollary} Det finnes ikke noe rettvinklet rektangel der sidene er 3 cm, 4 cm og 6 cm. \end{corollary} Du kan referere til teoremer som \ref{pythagorean} når en etikett er tildelt. \begin{lemma} Gitt to linjestykker med lengdene \(a\) og \(b\) henholdsvis, finnes det et reelt tall \(r\) slik at \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/ecf7c429c157f9b2f3efe98592b8aecf2c305681) Det er tre nye miljøer definert i preamblen. **\newtheorem{theorem}{Teorem}\[section]** Dette er eksemplet som ble presentert i innledningen, men det har den ekstra parameteren \[section] som nullstiller teorem-telleren for hver nye seksjon. **\newtheorem{corollary}{Korollar}\[theorem]** Et miljø kalt korollar opprettes, telleren for dette nye miljøet vil bli nullstilt hver gang et nytt teorem-miljø brukes. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** I dette tilfellet, selv om et nytt miljø kalt lemma opprettes, vil det bruke samme teller som teorem-miljøet. Noen berømte teoremer har sine egne navn; i disse tilfellene kan du legge til det nevnte navnet i hakeparenteser i kommandoen for å åpne miljøet. I eksemplet skriver linjen `\begin{theorem}[Pytagoras' teorem]` ut "Pytagoras' teorem" i begynnelsen av avsnittet. Som med mange andre nummererte elementer i LaTeX, kan kommandoen `\label` brukes til å referere til teorem-lignende miljøer i dokumentet. ## Unummererte teorem-lignende miljøer Det kan være nyttig å ha et unummerert teorem-lignende miljø for å legge til bemerkninger, kommentarer eller eksempler i et matematisk dokument. Pakken `amsthm` gir denne funksjonaliteten. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Bemerkning} \begin{document} Unummererte teorem-lignende miljøer er også mulig. \begin{remark} Denne påstanden er sann, antar jeg. \end{remark} \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/dc05f09b1c4f731f12ce5962e85c1486496fff5e) Syntaksen til kommandoen `\newtheorem*` er den samme som den ikke-stjerneformede versjonen, bortsett fra tellerparameterne. I dette eksemplet opprettes et nytt unummerert miljø kalt `remark` opprettes. ## Teoremstiler En funksjon som er viktig når man arbeider i et matematisk dokument, er å enkelt kunne skille for eksempel definisjoner fra teoremer gjennom formateringen. Pakken `amsthm` gir spesielle kommandoer for å oppnå dette. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Bemerkning} \begin{document} \section{Innledning} Unummererte teorem-lignende miljøer er også mulig. \begin{remark} Denne påstanden er sann, antar jeg. \end{remark} Og det neste er en nokså uformell definisjon \begin{definition}[Fibrasjon] En fibrasjon er en avbildning mellom to topologiske rom som har homotiløftingsegenskapen for hvert rom \(X\). \end{definition} \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/03674009abb09b97eb389ccd52207e4fff6caf4c) Kommandoen `\theoremstyle{ }` setter stilsettingen for det nummererte miljøet definert rett nedenfor. I eksemplet ovenfor brukes stilene *remark* og *definisjon* brukes. Legg merke til at bemerkningen nå er i kursiv og teksten i miljøet bruker normal (romersk) skrifttype, mens definisjonen på den annen side også bruker romersk skrifttype for teksten inni, men ordet "Definisjon" skrives ut i fet skrift. Se [referanseguiden](#reference-guide) for flere teoremstiler. ## Bevis Bevis er kjernen i matematiske artikler og bøker, og det er vanlig å holde dem visuelt adskilt fra den normale teksten i dokumentet. Pakken `amsthm` gir miljøet `bevis` for dette. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Teorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Innledning} \begin{lemma} Gitt to linjestykker med lengdene \(a\) og \(b\) henholdsvis, finnes det et reelt tall \(r\) slik at \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} For å bevise det ved motsigelse kan du prøve å anta at påstanden er usann, gå videre derfra, og på et tidspunkt vil du komme fram til en motsigelse. \end{proof} \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/8c08435e995ab811d3260c3106afb2dade86a8eb) Ordet `Bevis` er kursivert, og det er litt ekstra mellomrom; dessuten brukes et spesielt symbol for å markere slutten på beviset. Dette symbolet kan enkelt endres, for å lære hvordan, se neste avsnitt. ## Endre QED-symbolet Symbolet som skrives ut på slutten av et bevis kalles «QED-symbolet». For å sitere [betydningen av QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) fra Wikipedia: > QED er en initialforkortelse av den latinske frasen *quod erat demonstrandum*, som betyr «slik er det blitt demonstrert» Det er enkelt å bruke et symbol, eller en formulering, du selv velger, for å representere QED-symbolet. Kommandoen ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` kan brukes til å erstatte den standard hvite firkanten med en svart firkant skrevet ut av `$\blacksquare$`, parameteren inne i krøllparentesene. Eller du kan skrive ordet QED eksplisitt: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Her er et eksempel som demonstrerer begge alternativene: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Teorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Innledning} \begin{lemma} Gitt to linjestykker med lengdene \(a\) og \(b\) henholdsvis, finnes det et reelt tall \(r\) slik at \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} For å bevise det ved motsigelse kan du prøve å anta at påstanden er usann, gå videre derfra, og på et tidspunkt vil du komme fram til en motsigelse. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} For å bevise det ved motsigelse kan du prøve å anta at påstanden er usann, gå videre derfra, og på et tidspunkt vil du komme fram til en motsigelse. \end{proof} \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/f799eeeea9fce73351b4123f0f90877ea7dcfd79) ## Referanseguide ***Teoremstiler*** * `definisjon` fet tittel, romersk brødtekst. Vanlig brukt i definisjoner, betingelser, problemer og eksempler. * `plain` fet tittel, kursiv brødtekst. Vanlig brukt i teoremer, lemmaer, korollarer, proposisjoner og formodninger. * `remark` kursiv tittel, romersk brødtekst. Vanlig brukt i bemerkninger, notater, annotasjoner, påstander, tilfeller, takksigelser og konklusjoner. ## Videre lesning For mer informasjon, se: * [Matematiske uttrykk](/latex/no/matematikk/01-mathematical-expressions.md) * [Miljøer](/latex/no/kommandoer/02-environments.md) * [Visningsstil i matemodus](/latex/no/matematikk/10-display-style-in-math-mode.md) * [Liste over greske bokstaver og matematiske symboler](/latex/no/matematikk/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Matematiske skrifttyper](/latex/no/matematikk/12-mathematical-fonts.md) * [LaTeX-prosjekter med flere filer](/latex/no/dokumentstruktur/08-multi-file-latex-projects.md) * [Kryssreferanser mellom seksjoner og ligninger](/latex/no/dokumentstruktur/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hyperlenker](/latex/no/dokumentstruktur/09-hyperlinks.md) * [Den **amsthm** pakkedokumentasjon](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/no/fagspesifikt/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.