> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/no/matematikk/05-fractions-and-binomials.md). # Brøker og binomialkoeffisienter ## Innledning Denne artikkelen forklarer hvordan man setter opp brøker og binomialkoeffisienter, og begynner med følgende eksempel som bruker [`amsmath` pakken](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Binomialkoeffisienten, \(\binom{n}{k}\), er definert ved uttrykket: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Den [`amsmath` pakken](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) lastes inn ved å legge til følgende linje i dokumentets forord: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Her er resultatet som ble produsert: ![Bilde som viser LaTeX-typografering av binomialkoeffisienten](/files/d626289aab51a0590cecf229a09bbb1cef7d1df1) ## Visning av brøker Det visuelle uttrykket for brøker vil endre seg avhengig av om de vises inline, som en del av et avsnitt, eller settes som frittstående materiale på sin egen linje. Det neste eksemplet viser disse endringene i utseende: ```latex \documentclass{article} % Bruker geometry-pakken for å redusere % bredden på grafikk i hjelpeartikkelen \\usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Brøker kan brukes inline i avsnittsteksten, for eksempel \(\frac{1}{2}\), eller vises på sin egen linje, slik som denne: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![Demonstrasjon av inline- og display-matematikkmodi i LaTeX](/files/8bcc0e53f27d711b2533f07822f5b9d502aa6fa8) * **Merk**: Mer informasjon om inline- og display-versjoner av matematikk finnes i Overleaf-artikkelen [Visningsstil i matemodus](/latex/no/matematikk/10-display-style-in-math-mode.md). Vårt eksempel på en brøk settes opp ved hjelp av `\frac` -kommandoen (`\frac{1}{2}`) som har den generelle formen `\frac{*teller*}{*nevner*}`. ## Brøker i tekststil Følgende eksempel viser typografering av brøker kun med tekst ved å bruke `\text{...}` -kommandoen som tilbys av `amsmath` pakken. `\text{...}` -kommandoen brukes for å hindre at LaTeX setter teksten som vanlig matematisk innhold. ```latex \documentclass{article} % Bruker geometry-pakken for å redusere % bredden på grafikk i hjelpeartikkelen \\usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% For \text{...}-kommandoen \begin{document} Vi bruker \texttt{amsmath}-pakkens kommando \verb|\text{...}| for å lage brøker kun med tekst slik: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Uten \verb|\text{...}|-kommandoen blir resultatet ser slik ut: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![Tekstlige brøker](/files/6f4dc2fb7615043684c88b21a045bf5bd61583e3) ## Størrelse og avstand i typesatt matematikk Størrelsen og avstanden til matematisk materiale som settes opp av LaTeX er [bestemt av algoritmer](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) som bruker størrelse- og posisjoneringsdata som finnes i skriftene som brukes til å sette matematikk. Av og til kan det være nødvendig, eller ønskelig, å overstyre de matematiske standardstilene—størrelse og avstand for matematiske elementer—som velges av LaTeX, et tema som diskuteres i Overleafs hjelpeartikkel [Visningsstil i matemodus](/latex/no/matematikk/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). For å oppsummere kan standardstilen(e) som brukes til å sette matematikk endres med følgende kommandoer: * `\textstyle`: bruk stilen som brukes for matematikk satt i avsnitt; * `\displaystyle`: bruk stilen som brukes for matematikk satt på egne linjer; * `\scriptstyle`: bruk stilen som brukes for under- eller overindekser; * `\scriptscriptstyle`: bruk stilen som brukes for under- eller overindekser av andre orden; som demonstreres i neste eksempel. ```latex \documentclass{article} % Bruker geometry-pakken for å redusere % bredden på grafikk i hjelpeartikkelen \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Brøker satt opp i et avsnitt ser vanligvis slik ut: \(\frac{3x}{2}\). Du kan tvinge \LaTeX{} til å bruke den større displaystilen, for eksempel \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), som også påvirker linjeavstanden. Størrelsen på matematikk i et avsnitt kan også reduseres: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) eller \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). For eksemplet med \verb|\scriptscriptstyle|, legg merke til reduksjonen i avstanden: tegnene flyttes nærmere \textit{vinculum} (linjen som skiller teller og nevner). På samme måte kan du endre stilen til matematikk som vanligvis settes opp i displaystil: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{og}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{og}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![Bilde som viser endringer i LaTeX sine standard matematiske stiler](/files/b58194ac2d27f3b68bc81e15fb40970d0b605180) ## Fortløpende brøker Brøker kan nestes for å få mer komplekse uttrykk. Det andre paret med brøker som vises i følgende eksempel bruker begge `\cfrac` -kommandoen, som er spesielt laget for å lage fortløpende brøker. For å bruke `\cfrac` må du laste inn [`amsmath` pakken](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) i dokumentets forord. ```latex \documentclass{article} % Bruker geometry-pakken for å redusere % bredden på grafikk i hjelpeartikkelen \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Last inn amsmath for å få tilgang til \cfrac{...}{...}-kommandoen \usepackage{amsmath} \begin{document} Brøker kan nestes, men i dette eksemplet, legg merke til hvordan standard matematiske stiler, slik de brukes i nevneren, ikke gir ideelle resultater... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...så vi bruker \verb|\displaystyle| for å forbedre typograferingen: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Her er et eksempel som bruker \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|-kommandoen: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Her er et annet eksempel, hentet fra dokumentasjonen til \texttt{amsmath}, som viser venstre og høyre plassering av telleren ved å bruke henholdsvis \verb|\cfrac[l]| og \verb|\cfrac[r]|: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![Grafikk som viser innebygde brøker satt opp i LaTeX](/files/3b9dfef0136a640bb87cadb73062ed2fa68c91bf) ## Et siste eksempel Dette eksemplet viser en mer kompleks fortløpende brøk: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Åpne dette eksemplet i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Dette eksemplet gir følgende resultat: ![Bilde av avansert fortløpende brøk satt opp av LaTeX](/files/7ebf9e7200c24bcaab1ab89d2897a410cd301179) ## Videre lesning For mer informasjon, se: * [Matematiske uttrykk](/latex/no/matematikk/01-mathematical-expressions.md) * [Nedsenkede og hevede tegn](/latex/no/matematikk/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Klammer og parenteser](/latex/no/matematikk/03-brackets-and-parentheses.md) * [Justere ligninger med amsmath](/latex/no/matematikk/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operatorer](/latex/no/matematikk/07-operators.md) * [Matematiske skrifttyper](/latex/no/matematikk/12-mathematical-fonts.md) * [Den ikke helt korte introduksjonen til LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/no/matematikk/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.