> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/05-fractions-and-binomials.md). # Frações e binómios ## Introdução Este artigo explica como compor frações e coeficientes binomiais, começando com o seguinte exemplo que usa o [`amsmath` pacote](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} O coeficiente binomial, \(\binom{n}{k}\), é definido pela expressão: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) O [`amsmath` pacote](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) é carregado adicionando a seguinte linha ao preâmbulo do documento: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Aqui está a saída produzida: ![Imagem mostrando a composição em LaTeX do coeficiente binomial](/files/c8e8d050cf5b527ad1d3abd39c6b48a1591db239) ## Exibindo frações A aparência visual das frações mudará dependendo de aparecerem em linha, como parte de um parágrafo, ou compostas como material autônomo exibido em sua própria linha. O próximo exemplo demonstra essas mudanças na aparência visual: ```latex \documentclass{article} % Usando o pacote geometry para reduzir % a largura dos gráficos do artigo de ajuda \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Frações podem ser usadas em linha dentro do texto do parágrafo, por exemplo \(\frac{1}{2}\), ou exibidas em sua própria linha, como esta: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este exemplo produz a seguinte saída: ![Demonstrando os modos matemáticos em linha e em exibição em LaTeX](/files/13c82b2d680b006738d3aa28e291d7327fc840a8) * **Nota**: Mais informações sobre as versões em linha e em exibição da matemática podem ser encontradas no artigo do Overleaf [Estilo de destaque no modo matemático](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/10-display-style-in-math-mode.md). Nossa fração de exemplo é composta usando o `\frac` comando (`\frac{1}{2}`) que tem a forma geral `\frac{*numerador*}{*denominador*}`. ## Frações no estilo de texto O seguinte exemplo demonstra a composição de frações apenas de texto usando o `\text{...}` comando fornecido pelo `amsmath` pacote. A opção de pacote `\text{...}` O comando é usado para impedir que o LaTeX componha o texto como conteúdo matemático comum. ```latex \documentclass{article} % Usando o pacote geometry para reduzir % a largura dos gráficos do artigo de ajuda \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% For the \text{...} command \begin{document} Usamos o comando do pacote \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| para criar frações apenas de texto assim: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Sem o comando \verb|\text{...}|, o resultado fica assim: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este exemplo produz a seguinte saída: ![Frações textuais](/files/b6b00fe80b6285349bd1bd141104d21457d92cdb) ## Tamanho e espaçamento na matemática composta O tamanho e o espaçamento do material matemático composto pelo LaTeX são [determinados por algoritmos](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) que aplicam dados de tamanho e posicionamento contidos nas fontes usadas para compor a matemática. Ocasionalmente, pode ser necessário, ou desejável, substituir os estilos matemáticos padrão — tamanho e espaçamento dos elementos matemáticos — escolhidos pelo LaTeX, um tópico discutido no artigo de ajuda do Overleaf [Estilo de destaque no modo matemático](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Em resumo, o(s) estilo(s) padrão usados para compor matemática podem ser alterados pelos seguintes comandos: * `\textstyle`: aplica o estilo usado para matemática composta em parágrafos; * `\displaystyle`: aplica o estilo usado para matemática composta em linhas próprias; * `\scriptstyle`: aplica o estilo usado para subscritos ou sobrescritos; * `\scriptscriptstyle`: aplica o estilo usado para subscritos ou sobrescritos de segunda ordem; que são demonstrados no próximo exemplo. ```latex \documentclass{article} % Usando o pacote geometry para reduzir % a largura dos gráficos do artigo de ajuda \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Frações compostas dentro de um parágrafo normalmente ficam assim: \(\frac{3x}{2}\). Você pode forçar \LaTeX{} a usar o estilo de exibição maior, como \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), o que também afeta o espaçamento entre linhas. O tamanho da matemática em um parágrafo também pode ser reduzido: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) ou \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). Para o exemplo \verb|\scriptscriptstyle|, note a redução no espaçamento: os caracteres são movidos para mais perto do \textit{vinculum} (a linha que separa numerador e denominador). Da mesma forma, você pode alterar o estilo da matemática normalmente composta em estilo de exibição: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Abra este exemplo no Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este exemplo produz a seguinte saída: ![Imagem mostrando alterações nos estilos matemáticos padrão do LaTeX](/files/9aae5c97c5993fc6f22b59e99e0e95a887ec06dc) ## Frações contínuas Frações podem ser aninhadas para obter expressões mais complexas. O segundo par de frações exibido no exemplo a seguir as duas usam o `\cfrac` comando, concebido especificamente para produzir frações contínuas. Para usar `\cfrac` você deve carregar o [`amsmath` pacote](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) no preâmbulo do documento. ```latex \documentclass{article} % Usando o pacote geometry para reduzir % a largura dos gráficos do artigo de ajuda \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Carregue o amsmath para acessar o comando \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Frações podem ser aninhadas, mas, neste exemplo, observe como os estilos matemáticos padrão, como usados no denominador, não produzem resultados ideais... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...por isso usamos \verb|\displaystyle| para melhorar a composição: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Aqui está um exemplo que usa o comando \verb|\cfrac| do \texttt{amsmath}: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Aqui está outro exemplo, derivado da documentação do \texttt{amsmath}, que demonstra o alinhamento à esquerda e à direita do numerador usando \verb|\cfrac[l]| e \verb|\cfrac[r]|, respectivamente: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este exemplo produz a seguinte saída: ![Gráfico demonstrando frações contidas compostas em LaTeX](/files/bbcebc888cd3468a72a3a147fe970f8e7ebebaf9) ## Um exemplo final Este exemplo demonstra uma fração contínua mais complexa: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Abra este exemplo no Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Este exemplo produz a seguinte saída: ![Imagem de uma fração contínua avançada composta pelo LaTeX](/files/069f645a3ee707de1c3439e3bc860cda0e5fe729) ## Leitura adicional Para mais informações, consulta: * [Expressões matemáticas](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/01-mathematical-expressions.md) * [Subscritos e sobrescritos](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Parênteses retos e parênteses arredondados](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/03-brackets-and-parentheses.md) * [Alinhamento de equações com amsmath](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operadores](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/07-operators.md) * [Fontes matemáticas](/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/12-mathematical-fonts.md) * [A introdução não tão curta ao LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/overleaf-learn-latex-pt/matematica/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.