> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/pl/matematyka/02-subscripts-and-superscripts.md). # Indeksy dolne i górne ## Wstęp Użycie indeksów górnych i dolnych jest bardzo powszechne w wyrażeniach matematycznych zawierających wykładniki, indeksy oraz w niektórych specjalnych operatorach. Ten artykuł wyjaśnia, jak zapisywać indeksy górne i dolne w prostych wyrażeniach, całkach, sumach i tak dalej. Całki oznaczone należą do najczęściej spotykanych wyrażeń matematycznych, więc zobaczmy przykład: ```latex \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten kod LaTeX generuje: $$\int\limits\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ Zgodnie z konwencją indeksy górne i dolne w LaTeX tworzy się za pomocą znaków `^` i `_` odpowiednio; na przykład wykładniki zastosowane do $$x$$ i $$y$$ w powyższym fragmencie kodu. Znaki te można także stosować z symbolami matematycznymi, takimi jak całka (`\int`) zawarta w powyższym przykładzie, gdzie `_` służy do ustawienia dolnej granicy, a `^` do górnej granicy. Polecenie `\limits` zmienia sposób wyświetlania granic w całce; jeśli go nie ma, granice byłyby obok symbolu całki zamiast nad nim i pod nim: ```latex \[ \int_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten kod LaTeX generuje: $$\int\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ ## Bardziej szczegółowe przykłady Symbole `_` i `^` można również łączyć w tym samym wyrażeniu, na przykład: ```latex \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten kod LaTeX generuje: $$a\_1^2 + a\_2^2 = a\_3^2$$ Jeśli wyrażenie zawiera długie indeksy górne lub dolne, należy je ująć w nawiasy klamrowe, ponieważ LaTeX zwykle stosuje polecenia matematyczne `^` i `_` tylko do następnego znaku: ```latex \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+3\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten kod LaTeX generuje: $$x^{2 \alpha} - 1 = y\_{ij} + y\_{ij}$$ Indeksy dolne i górne można zagnieżdżać i łączyć na różne sposoby. Jednak przy zagnieżdżaniu indeksów dolnych/górnych należy pamiętać, że każde polecenie musi odnosić się do pojedynczego elementu; może to być pojedyncza litera lub liczba, jak w powyższych przykładach, albo bardziej złożone wyrażenie matematyczne ujęte w nawiasy klamrowe lub kwadratowe. Na przykład: ```latex \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten kod LaTeX generuje: $$(a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}$$ ## Operatory używające indeksów dolnych i górnych Niektóre operatory matematyczne mogą wymagać indeksów dolnych i górnych. Najczęstsze przypadki dotyczą całki `\int` (sprawdź [wprowadzeniu](#introduction)) oraz sumy (`\sum`) operatorów, których granice są zapisywane dokładnie za pomocą indeksów dolnych i górnych. ```latex \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%0A%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten kod LaTeX generuje: $$\sum\_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod\_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$$ W przypadku innych często używanych operatorów wymagających indeksów dolnych/górnych sprawdź [przewodnik referencyjny](#reference-guide). ## Otwórz wszystkie fragmenty kodu w Overleaf Skorzystaj z poniższego linku, aby otworzyć wszystkie powyższe przykłady jako jeden projekt Overleaf: ```latex Oto kilka przykładów prostego użycia indeksów dolnych i górnych: \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] \vspace{1cm} Użycie indeksów górnych i dolnych w tym samym wyrażeniu \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] \vspace{1cm} Dłuższe indeksy dolne i górne: \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] \vspace{1cm} Zagnieżdżone indeksy dolne i górne \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] \vspace{1cm} Przykład równania matematycznego z indeksami dolnymi i górnymi \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] \vspace{1cm} Użycie pierwiastka kwadratowego \[ \sqrt[4]{4ac} = \sqrt{4ac}\sqrt{4ac} \] ``` [Otwórz wszystkie powyższe przykłady jako jeden projekt Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+6\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BSubscripts+and+Superscripts%7D%0A%5Cauthor%7BExamples+from+Overleaf%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cmaketitle%0AHere+are+some+examples+of+simple+usage+of+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AUsing+superscript+and+subscripts+in+the+same+expression%0A%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ALonger+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ANested+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AExample+of+a+mathematical+equation+with+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ASquared+root+usage%0A%0A%5C%5B+%5Csqrt%5B4%5D%7B4ac%7D+%3D+%5Csqrt%7B4ac%7D%5Csqrt%7B4ac%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) ## Przewodnik referencyjny Dodatkowe przykłady i operatory | Znaczniki LaTeX | Wyświetla się jako | | --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | `a_{n_i}` | a n i {\displaystyle a\_{n\_{i}}} ![{\displaystyle a\_{n\_{i}}}](/files/79875d32456cf504f7f4eac12efdc6706d1149ef) | | `\int_{i=1}^n` | ∫ i = 1 n {\displaystyle \int \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \int \_{i=1}^{n}}](/files/1d4b6455def4669b2f8de24307af3d7a14e48e2f) | | `\sum_{i=1}^{\infty}` | ∑ i = 1 ∞ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }} ![{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }}](/files/f18edfd019b5f1db62c66e62853a84a3c5daf6d0) | | `\prod_{i=1}^n` | ∏ i = 1 n {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}}](/files/e2906c02fd3a8b518d8089b69187265254b9137c) | | `\cup_{i=1}^n` | ∪ i = 1 n {\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}}](/files/c0638b47a4b78d8e4c4025e95aeeaa0a47a458b6) | | `\cap_{i=1}^n` | ∩ i = 1 n {\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}}](/files/0974a9624e81b6da63080fa558153e461a4c5eeb) | | `\oint_{i=1}^n` | ∮ i = 1 n {\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}}](/files/d936b16c5002616e67118067d08a9ac58f8224f4) | | `\coprod_{i=1}^n` | ∐ i = 1 n {\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}}](/files/52a92aad9dc1705ea322ee6054b8f6bd82d52a3d) | Istnieją także `bigcup` i `bigcap` polecenia podobne do `cup` i `cap` ale są używane dla większych wyrażeń. ## Dalsza lektura Więcej informacji znajdziesz w * [Lista greckich liter i symboli matematycznych](/latex/pl/matematyka/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Operatory](/latex/pl/matematyka/07-operators.md) * [Całki, sumy i granice](/latex/pl/matematyka/09-integrals-sums-and-limits.md) * [Czcionki matematyczne](/latex/pl/matematyka/12-mathematical-fonts.md) * [Nawiasy i nawiasy okrągłe](/latex/pl/matematyka/03-brackets-and-parentheses.md) * [Wielka, obszerna lista symboli LaTeX](http://www.rpi.edu/dept/arc/training/latex/LaTeX_symbols.pdf) (pełna lista dostępnych symboli matematycznych w **amssymb** pakiecie) * [Niezbyt krótki wstęp do LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) * [Wyrównywanie równań za pomocą amsmath](/latex/pl/matematyka/06-aligning-equations-with-amsmath.md) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/pl/matematyka/02-subscripts-and-superscripts.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.