> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/pl/matematyka/05-fractions-and-binomials.md). # Ułamki i dwumiany ## Wstęp Ten artykuł wyjaśnia, jak składać ułamki i współczynniki dwumianowe, zaczynając od następującego przykładu, który używa [`amsmath` pakietu](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Współczynnik dwumianowy, \(\binom{n}{k}\), jest zdefiniowany przez wyrażenie: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ta [`amsmath` pakietu](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) jest ładowany przez dodanie następującej linii do preambuły dokumentu: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Oto wygenerowany wynik: ![Obraz przedstawiający składanie współczynnika dwumianowego w LaTeX](/files/85451bbbcad2b5f8df03956bf086dd42e648ab42) ## Wyświetlanie ułamków Wygląd ułamków będzie się zmieniał w zależności od tego, czy występują w tekście, jako część akapitu, czy są składane jako samodzielny element wyświetlany w osobnym wierszu. Następny przykład pokazuje te zmiany wyglądu: ```latex \documentclass{article} % Używanie pakietu geometry do zmniejszenia % szerokości grafik w artykule pomocy \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Ułamki mogą być używane w tekście w obrębie akapitu, na przykład \(\frac{1}{2}\), albo wyświetlane w osobnym wierszu, taki jak ten: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![Ilustrowanie trybów matematycznych inline i display w LaTeX](/files/6a2e5ac841389c99a7b637db98246912f735c060) * **Uwaga**: Więcej informacji o wersjach matematyki w trybie inline i display można znaleźć w artykule Overleaf [Styl wyświetlania w trybie matematycznym](/latex/pl/matematyka/10-display-style-in-math-mode.md). Nasza przykładowa liczba jest składana przy użyciu `\frac` polecenia (`\frac{1}{2}`) które ma ogólną postać `\frac{*numerator*}{*denominator*}`. ## Ułamki w stylu tekstowym Poniższy przykład pokazuje składanie ułamków zawierających wyłącznie tekst przy użyciu `\text{...}` polecenia udostępnianego przez `amsmath` pakiet. Opcja pakietu `\text{...}` polecenie służy do tego, aby LaTeX nie składał tekstu jako zwykłej treści matematycznej. ```latex \documentclass{article} % Używanie pakietu geometry do zmniejszenia % szerokości grafik w artykule pomocy \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Do polecenia \text{...} \begin{document} Używamy polecenia pakietu \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| do tworzenia ułamków zawierających wyłącznie tekst w ten sposób: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Bez polecenia \verb|\text{...}| wynik wygląda tak: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![Ułamki tekstowe](/files/2f557be37960bc4c7f787a63026123ee4863c507) ## Rozmiar i odstępy w składanej matematyce Rozmiar i odstępy materiału matematycznego składanego przez LaTeX są [określane przez algorytmy](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) które stosują dane o rozmiarze i pozycjonowaniu zawarte w czcionkach używanych do składania matematyki. Czasami może być konieczne lub pożądane zastąpienie domyślnych stylów matematycznych — rozmiaru i odstępów elementów matematycznych — wybieranych przez LaTeX, o czym mowa w artykule pomocy Overleaf [Styl wyświetlania w trybie matematycznym](/latex/pl/matematyka/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Podsumowując, domyślne style używane do składania matematyki można zmienić za pomocą następujących poleceń: * `\textstyle`: zastosuj styl używany dla matematyki składanej w akapitach; * `\displaystyle`: zastosuj styl używany dla matematyki składanej w osobnych wierszach; * `\scriptstyle`: zastosuj styl używany dla indeksów dolnych lub górnych; * `\scriptscriptstyle`: zastosuj styl używany dla indeksów drugiego rzędu dolnych lub górnych; co pokazano w następnym przykładzie. ```latex \documentclass{article} % Używanie pakietu geometry do zmniejszenia % szerokości grafik w artykule pomocy \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Ułamki składane w obrębie akapitu zwykle wyglądają tak: \(\frac{3x}{2}\). Możesz zmusić \LaTeX{} do użycia większego stylu display, takiego jak \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), co również wpływa na odstępy między wierszami. Rozmiar matematyki w akapicie można także zmniejszyć: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) lub \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). W przykładzie z \verb|\scriptscriptstyle| zwróć uwagę na zmniejszenie odstępów: znaki są przesunięte bliżej \textit{vinculum} (linii oddzielającej licznik i mianownik). Analogicznie, można zmienić styl matematyki zwykle składanej w stylu display: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![Obraz pokazujący zmiany domyślnych stylów matematycznych LaTeX](/files/9684085506b473377396212a8fc59679194d51fa) ## Ułamki łańcuchowe Ułamki mogą być zagnieżdżane, aby uzyskać bardziej złożone wyrażenia. Druga para ułamków pokazana w poniższym przykładzie używa w obu przypadkach `\cfrac` polecenia, zaprojektowanego specjalnie do tworzenia ułamków łańcuchowych. Aby użyć `\cfrac` należy załadować [`amsmath` pakietu](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) w preambule dokumentu. ```latex \documentclass{article} % Używanie pakietu geometry do zmniejszenia % szerokości grafik w artykule pomocy \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Załaduj amsmath, aby uzyskać dostęp do polecenia \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Ułamki mogą być zagnieżdżane, ale w tym przykładzie zwróć uwagę, że domyślne style matematyczne, użyte w mianowniku, nie dają idealnych rezultatów... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...dlatego używamy \verb|\displaystyle|, aby poprawić skład: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Oto przykład używający polecenia \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Oto kolejny przykład, zaczerpnięty z dokumentacji \texttt{amsmath}, który pokazuje lewe i prawe umieszczanie licznika przy użyciu odpowiednio \verb|\cfrac[l]| i \verb|\cfrac[r]|: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![Grafika pokazująca zagnieżdżone ułamki składane w LaTeX](/files/cbabe13a4b813ae0c8a88e8c291f96789fbe0990) ## Ostatni przykład Ten przykład pokazuje bardziej złożony ułamek łańcuchowy: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![Obraz zaawansowanego ułamka łańcuchowego składanego przez LaTeX](/files/2a31c80d7bb8ad6b5222e6d01aff4c6a47e948d8) ## Dalsza lektura Więcej informacji znajdziesz w: * [Wyrażenia matematyczne](/latex/pl/matematyka/01-mathematical-expressions.md) * [Indeksy dolne i górne](/latex/pl/matematyka/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Nawiasy i nawiasy okrągłe](/latex/pl/matematyka/03-brackets-and-parentheses.md) * [Wyrównywanie równań za pomocą amsmath](/latex/pl/matematyka/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operatory](/latex/pl/matematyka/07-operators.md) * [Czcionki matematyczne](/latex/pl/matematyka/12-mathematical-fonts.md) * [Niezbyt krótki wstęp do LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/pl/matematyka/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.