> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/pl/specyficzne-dla-dziedziny/01-theorems-and-proofs.md). # Twierdzenia i dowody ## Wstęp Dokumenty matematyczne zawierają elementy wymagające specjalnego formatowania i numeracji, takie jak twierdzenia, definicje, propozycje, uwagi, wnioski, lematy i tak dalej. Ten artykuł wyjaśnia, jak definiować te środowiska w LaTeX-u. Numerowane środowiska w LaTeX-u można definiować za pomocą polecenia `\newtheorem` które przyjmuje dwa argumenty: ```latex \newtheorem{theorem}{Twierdzenie} ``` * pierwszy z nich to nazwa środowiska, które jest definiowane * drugi to słowo, które zostanie wydrukowane, pogrubioną czcionką, na początku środowiska. Po zdefiniowaniu tego nowego środowiska można je normalnie używać w dokumencie, ograniczone przez `\begin{theorem}` i `\end{theorem}`. Przykład przedstawiono poniżej: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Twierdzenie} \begin{document} \section{Wprowadzenie} Twierdzenia można łatwo zdefiniować: \begin{theorem} Niech \(f\) będzie funkcją, której pochodna istnieje w każdym punkcie, wtedy \(f\) jest funkcją ciągłą. \end{theorem} \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/7fa8dd8b1e1bbe4efd340e52cab84de59700dc71) ## Numerowane twierdzenia, definicje, wnioski i lematy Numeracją środowisk można sterować za pomocą dwóch dodatkowych parametrów w `\newtheorem` poleceniu. Zobaczmy: ```latex \newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{corollary}{Wniosek}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemat} \begin{document} \section{Wprowadzenie} Twierdzenia można łatwo zdefiniować: \begin{theorem} Niech \(f\) będzie funkcją, której pochodna istnieje w każdym punkcie, wtedy \(f\) jest funkcją ciągłą. \end{theorem} \begin{theorem}[Twierdzenie Pitagorasa] \label{pythagorean} Jest to twierdzenie o trójkątach prostokątnych i można je streścić w następującym equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} A konsekwencją twierdzenia \ref{pythagorean} jest stwierdzenie w następnym wniosku. \begin{corollary} Nie istnieje prostokąt, którego boki mają długości 3 cm, 4 cm i 6 cm. \end{corollary} Można odwoływać się do twierdzeń, takich jak \ref{pythagorean}, gdy przypisana jest etykieta. \begin{lemma} Dla dwóch odcinków o długościach odpowiednio \(a\) i \(b\) istnieje liczba rzeczywista \(r\), taka że \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/2f8f8f59c7fb68febded5916d72cea7418e358e1) W preambule zdefiniowano trzy nowe środowiska. **\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}\[section]** Jest to przykład przedstawiony we wstępie, ale ma dodatkowy parametr \[section], który resetuje licznik twierdzeń w każdej nowej sekcji. **\newtheorem{corollary}{Wniosek}\[theorem]** Tworzone jest środowisko o nazwie corollary, a licznik tego nowego środowiska będzie resetowany za każdym razem, gdy zostanie użyte nowe środowisko theorem. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemat}** W tym przypadku, mimo że tworzone jest nowe środowisko o nazwie lemma, będzie ono używać tego samego licznika co środowisko theorem. Niektóre słynne twierdzenia mają własne nazwy; w takich przypadkach można dodać tę nazwę w nawiasach w poleceniu otwierającym środowisko. W przykładzie wiersz `\begin{theorem}[Twierdzenie Pitagorasa]` wyświetla „Twierdzenie Pitagorasa” na początku akapitu. Podobnie jak w przypadku wielu innych numerowanych elementów w LaTeX-u, polecenie `\label` można użyć do odwoływania się do środowisk podobnych do twierdzeń w dokumencie. ## Nienumerowane środowiska podobne do twierdzeń Przydatne może być nienumerowane środowisko podobne do twierdzenia, aby dodawać uwagi, komentarze lub przykłady do dokumentu matematycznego. The `amsthm` package provides this functionality. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Uwaga} \begin{document} Nienumerowane środowiska podobne do twierdzeń są również możliwe. \begin{remark} To stwierdzenie jest prawdziwe, jak sądzę. \end{remark} \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/f681d406e8b56cdab15e4148a2515b5b0e0624ff) Składnia polecenia `\newtheorem*` jest taka sama jak wersji bez gwiazdki, z wyjątkiem parametrów licznika. W tym przykładzie tworzone jest nowe nienumerowane środowisko o nazwie `remark` zostaje utworzone. ## Style twierdzeń Ważną cechą podczas pracy nad dokumentem matematycznym jest łatwe odróżnianie, powiedzmy, definicji od twierdzeń na podstawie ich formatowania. Pakiet `amsthm` udostępnia specjalne polecenia, które to umożliwiają. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definicja}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Uwaga} \begin{document} \section{Wprowadzenie} Nienumerowane środowiska podobne do twierdzeń są również możliwe. \begin{remark} To stwierdzenie jest prawdziwe, jak sądzę. \end{remark} A następna jest dość nieformalna definicja \begin{definition}[Fibrowanie] Fibrowanie jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami topologicznymi, które ma własność podnoszenia homotopii dla każdej przestrzeni \(X\). \end{definition} \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/9dcc75a70ebb956fbe0ea5c60a7b6ccbcaf3fddc) Polecenie `\theoremstyle{ }` ustawia styl dla numerowanego środowiska zdefiniowanego bezpośrednio poniżej. W powyższym przykładzie style *remark* i *definition* są używane. Zauważ, że remark jest teraz kursywą, a tekst w środowisku używa zwykłego (rzymskiego) kroju pisma, z kolei definition również używa kroju rzymskiego dla tekstu wewnątrz, ale słowo „Definicja” jest drukowane pogrubioną czcionką. Zobacz [przewodnik referencyjny](#reference-guide) więcej stylów twierdzeń. ## Dowody Dowody są rdzeniem prac i książek matematycznych i zwyczajowo oddziela się je wizualnie od zwykłego tekstu w dokumencie. Pakiet `amsthm` udostępnia środowisko `proof` do tego. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemat} \begin{document} \section{Wprowadzenie} \begin{lemma} Dla dwóch odcinków o długościach odpowiednio \(a\) i \(b\) istnieje liczba rzeczywista \(r\), taka że \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Aby udowodnić to przez sprzeczność, spróbuj założyć, że stwierdzenie jest fałszywe, a następnie postępuj dalej, a w pewnym momencie dojdziesz do sprzeczności. \end{proof} \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/45191cac8407a08c468ecf3bb8f3dfcb95f62b6c) Słowo `Proof` jest zapisane kursywą i występuje pewna dodatkowa przestrzeń; używany jest też specjalny symbol oznaczający koniec dowodu. Symbol ten można łatwo zmienić; aby dowiedzieć się jak, zobacz następny rozdział. ## Zmiana symbolu QED Symbol drukowany na końcu dowodu nazywa się „symbolem QED”. Aby zacytować [znaczenie QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) z Wikipedii: > QED jest skrótem łacińskiej frazy *quod erat demonstrandum*, co oznacza „tak oto zostało to udowodnione” Łatwo jest użyć wybranego przez siebie symbolu lub sformułowania do reprezentowania symbolu QED. Polecenie ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` można użyć, aby zastąpić domyślny biały kwadrat czarnym kwadratem drukowanym przez `$\blacksquare$`, parametr wewnątrz nawiasów klamrowych. Można też jawnie napisać słowo QED: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Oto przykład pokazujący obie opcje: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemat} \begin{document} \section{Wprowadzenie} \begin{lemma} Dla dwóch odcinków o długościach odpowiednio \(a\) i \(b\) istnieje liczba rzeczywista \(r\), taka że \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Aby udowodnić to przez sprzeczność, spróbuj założyć, że stwierdzenie jest fałszywe, a następnie postępuj dalej, a w pewnym momencie dojdziesz do sprzeczności. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Aby udowodnić to przez sprzeczność, spróbuj założyć, że stwierdzenie jest fałszywe, a następnie postępuj dalej, a w pewnym momencie dojdziesz do sprzeczności. \end{proof} \end{document} ``` [Otwórz ten przykład w Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ten przykład generuje następujący wynik: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/a78c1f304552e981efeb4853413040cd2fd6fe32) ## Przewodnik referencyjny ***Style twierdzeń*** * `definition` pogrubiony tytuł, tekst w kroju rzymskim. Powszechnie używane w definicjach, warunkach, problemach i przykładach. * `plain` pogrubiony tytuł, tekst kursywą. Powszechnie używane w twierdzeniach, lematów, wnioskach, propozycjach i przypuszczeniach. * `remark` tytuł kursywą, tekst w kroju rzymskim. Powszechnie używane w uwagach, notatkach, adnotacjach, stwierdzeniach, przypadkach, podziękowaniach i zakończeniach. ## Dalsza lektura Więcej informacji znajdziesz w: * [Wyrażenia matematyczne](/latex/pl/matematyka/01-mathematical-expressions.md) * [Środowiska](/latex/pl/polecenia/02-environments.md) * [Styl wyświetlania w trybie matematycznym](/latex/pl/matematyka/10-display-style-in-math-mode.md) * [Lista greckich liter i symboli matematycznych](/latex/pl/matematyka/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Czcionki matematyczne](/latex/pl/matematyka/12-mathematical-fonts.md) * [Wieloplikowe projekty LaTeX](/latex/pl/struktura-dokumentu/08-multi-file-latex-projects.md) * [Odwołania krzyżowe do sekcji i równań](/latex/pl/struktura-dokumentu/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hiperłącza](/latex/pl/struktura-dokumentu/09-hyperlinks.md) * [Ta **amsthm** dokumentacja pakietu](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/pl/specyficzne-dla-dziedziny/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.