> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md). # Нижние и верхние индексы ## Введение Использование надстрочных и подстрочных индексов очень распространено в математических выражениях, содержащих показатели степени, индексы и некоторые специальные операторы. В этой статье объясняется, как записывать надстрочные и подстрочные индексы в простых выражениях, интегралах, суммах и так далее. Определённые интегралы — одни из самых распространённых математических выражений, так что давайте посмотрим на пример: ```latex \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот код LaTeX даёт: $$\int\limits\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ По соглашению, надстрочные и подстрочные индексы в LaTeX создаются с помощью символов `^` и `_` соответственно; например, показатели степени, применённые к $$x$$ и $$y$$ в приведённом выше фрагменте кода. Эти символы также могут использоваться с математическими символами, такими как интеграл (`\int`) в приведённом выше примере, где `_` используется для задания нижнего предела, а `^` — для верхнего предела. Команда `\limits` изменяет способ отображения пределов в интеграле; если его нет, пределы будут располагаться рядом со знаком интеграла, а не над и под ним: ```latex \[ \int_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот код LaTeX даёт: $$\int\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$ ## Более подробные примеры Символы `_` и `^` также могут сочетаться в одном выражении, например: ```latex \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот код LaTeX даёт: $$a\_1^2 + a\_2^2 = a\_3^2$$ Если выражение содержит длинные надстрочные или подстрочные индексы, их нужно заключать в фигурные скобки, поскольку LaTeX обычно применяет математические команды `^` и `_` только к следующему символу: ```latex \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+3\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот код LaTeX даёт: $$x^{2 \alpha} - 1 = y\_{ij} + y\_{ij}$$ Подстрочные и надстрочные индексы можно вкладывать и комбинировать различными способами. Однако при вложении подстрочных/надстрочных индексов помните, что каждая команда должна относиться к одному элементу; это может быть одна буква или цифра, как в примерах выше, или более сложное математическое выражение, заключённое в фигурные скобки или квадратные скобки. Например: ```latex \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот код LaTeX даёт: $$(a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}$$ ## Операторы, использующие подстрочные и надстрочные индексы Некоторые математические операторы могут требовать подстрочных и надстрочных индексов. Наиболее частые случаи — это интеграл `\int` (смотрите [введении](#introduction)) и оператор суммы (`\sum`), границы которых точно набираются с помощью подстрочных и надстрочных индексов. ```latex \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%0A%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот код LaTeX даёт: $$\sum\_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod\_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$$ Для других часто используемых операторов, требующих подстрочных/надстрочных индексов, см. [справочное руководство](#reference-guide). ## Откройте все фрагменты кода в Overleaf Используйте ссылку ниже, чтобы открыть все приведённые выше примеры как один проект Overleaf: ```latex Вот несколько примеров простого использования подстрочных и надстрочных индексов: \[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \] \vspace{1cm} Использование надстрочных и подстрочных индексов в одном выражении \[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \] \vspace{1cm} Более длинные подстрочные и надстрочные индексы: \[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij} \] \vspace{1cm} Вложенные подстрочные и надстрочные индексы \[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \] \vspace{1cm} Пример математического уравнения с подстрочными и надстрочными индексами \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \] \vspace{1cm} Использование корня с индексом \[ \sqrt[4]{4ac} = \sqrt{4ac}\sqrt{4ac} \] ``` [Откройте все приведённые выше примеры как один проект Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+6\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BSubscripts+and+Superscripts%7D%0A%5Cauthor%7BExamples+from+Overleaf%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cmaketitle%0AHere+are+some+examples+of+simple+usage+of+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AUsing+superscript+and+subscripts+in+the+same+expression%0A%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ALonger+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ANested+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AExample+of+a+mathematical+equation+with+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ASquared+root+usage%0A%0A%5C%5B+%5Csqrt%5B4%5D%7B4ac%7D+%3D+%5Csqrt%7B4ac%7D%5Csqrt%7B4ac%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) ## справочнике Дополнительные примеры и операторы | Разметка LaTeX | Отображается как | | --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | `a_{n_i}` | a n i {\displaystyle a\_{n\_{i}}} ![{\displaystyle a\_{n\_{i}}}](/files/14a0415c6ba9a6b76da0dc86eeef6282ea030316) | | `\int_{i=1}^n` | ∫ i = 1 n {\displaystyle \int \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \int \_{i=1}^{n}}](/files/8f0c1ea13845dd94c908d81e8a5f72b98d6353b1) | | `\sum_{i=1}^{\infty}` | ∑ i = 1 ∞ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }} ![{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }}](/files/52170be401a33bcda38170d0bc1a8109df2de183) | | `\prod_{i=1}^n` | ∏ i = 1 n {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}}](/files/a8a9388129ffcd4e0fc8af479809c45a2f9a8ebc) | | `\cup_{i=1}^n` | ∪ i = 1 n {\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}}](/files/c25c51631ccd28544eec8ac737837014b108e661) | | `\cap_{i=1}^n` | ∩ i = 1 n {\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}}](/files/8db9f0c18929d6af80d9248c751d4944e1d9dd4a) | | `\oint_{i=1}^n` | ∮ i = 1 n {\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}}](/files/e8d4ff00fc4bef76972e3586682799e9a176603b) | | `\coprod_{i=1}^n` | ∐ i = 1 n {\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}}](/files/fa88fb71a767743492c5bce214e60e61c1f9e40c) | Существуют также `bigcup` и `bigcap` команды, похожие на `cup` и `cap` но они используются для более крупных выражений. ## Дополнительное чтение Для получения дополнительной информации см. * [Список греческих букв и математических символов](/latex/ru/matematika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Операторы](/latex/ru/matematika/07-operators.md) * [Интегралы, суммы и пределы](/latex/ru/matematika/09-integrals-sums-and-limits.md) * [Математические шрифты](/latex/ru/matematika/12-mathematical-fonts.md) * [Скобки и круглые скобки](/latex/ru/matematika/03-brackets-and-parentheses.md) * [Большой, полный список символов LaTeX](http://www.rpi.edu/dept/arc/training/latex/LaTeX_symbols.pdf) (полный список доступных математических символов в **amssymb** пакете) * [Не слишком краткое введение в LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) * [Выравнивание уравнений с помощью amsmath](/latex/ru/matematika/06-aligning-equations-with-amsmath.md) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.