> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/matematika/05-fractions-and-binomials.md). # Дроби и биномиалы ## Введение Эта статья объясняет, как набирать дроби и биномиальные коэффициенты, начиная со следующего примера, который использует [`amsmath` пакет](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Биномиальный коэффициент, \(\binom{n}{k}\), определяется выражением: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Это [`amsmath` пакет](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) загружается путем добавления следующей строки в преамбулу документа: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Вот полученный результат: ![Изображение, показывающее набор биномиального коэффициента в LaTeX](/files/53c2d4b77219b44f6a3a990db1cd2cc0bfa4ef7b) ## Отображение дробей Внешний вид дробей будет меняться в зависимости от того, встречаются ли они в строке, как часть абзаца, или набраны как отдельный материал, размещенный на собственной строке. Следующий пример демонстрирует эти изменения внешнего вида: ```latex \documentclass{article} % Использование пакета geometry для уменьшения % ширины графики справочной статьи \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Дроби можно использовать в строке внутри текста абзаца, например например \(\frac{1}{2}\), или размещать их на собственной строке, такой: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот пример выдаёт следующий результат: ![Демонстрация режимов встроенной и отдельной математики в LaTeX](/files/1235598fbc318b84337b8f2b810f3856672c1b36) * **Примечание**: Более подробную информацию о встроенных и отдельнострочных версиях математических выражений можно найти в статье Overleaf [Стиль отображения в математическом режиме](/latex/ru/matematika/10-display-style-in-math-mode.md). Наш пример дроби набран с использованием `\frac` команды (`\frac{1}{2}`) которая имеет общий вид `\frac{*числитель*}{*знаменатель*}`. ## Дроби в текстовом стиле Следующий пример демонстрирует набор дробей только из текста с использованием `\text{...}` команды, предоставляемой `amsmath` пакетом. Команда `\text{...}` используется, чтобы заставить LaTeX не набирать текст как обычный математический контент. ```latex \documentclass{article} % Использование пакета geometry для уменьшения % ширины графики справочной статьи \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Для команды \text{...} \begin{document} Мы используем команду пакета \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| для создания дробей только из текста так: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Без команды \verb|\text{...}| результат выглядит так: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот пример выдаёт следующий результат: ![Текстовые дроби](/files/f82039d7d74dfffd6ae0707c3c3141b616b78ec0) ## Размер и интервалы в набранной математике Размер и интервалы математического материала, набранного LaTeX, [определяются алгоритмами](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) которые применяют данные о размере и позиционировании, содержащиеся в шрифтах, используемых для набора математики. Иногда может быть необходимо или желательно переопределить стандартные математические стили — размер и интервалы математических элементов — выбранные LaTeX'ом; этот вопрос обсуждается в справочной статье Overleaf [Стиль отображения в математическом режиме](/latex/ru/matematika/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Подводя итог, стиль(и) по умолчанию, используемые для набора математики, можно изменить следующими командами: * `\textstyle`: применяет стиль, используемый для математики, набранной в абзацах; * `\displaystyle`: применяет стиль, используемый для математики, набранной на отдельных строках; * `\scriptstyle`: применяет стиль, используемый для нижних или верхних индексов; * `\scriptscriptstyle`: применяет стиль, используемый для индексов второго уровня; что демонстрируется в следующем примере. ```latex \documentclass{article} % Использование пакета geometry для уменьшения % ширины графики справочной статьи \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Дроби, набранные внутри абзаца, обычно выглядят так: \(\frac{3x}{2}\). Вы можете заставить \LaTeX{} использовать более крупный стиль display, например \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), что также влияет на межстрочный интервал. Размер математики в абзаце также можно уменьшить: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) или \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). В примере с \verb|\scriptscriptstyle| обратите внимание на уменьшение интервала: символы сдвигаются ближе к \textit{vinculum} (линии, разделяющей числитель и знаменатель). Точно так же можно изменить стиль математики, обычно набираемой в режиме display: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Откройте этот пример в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот пример выдаёт следующий результат: ![Изображение, показывающее изменения стилей математики по умолчанию в LaTeX](/files/af33ce0e76c3294adeb5c47db6d19591c359c79d) ## Непрерывные дроби Дроби можно вкладывать друг в друга, чтобы получить более сложные выражения. Вторая пара дробей, показанная в следующем примере, обе используют `\cfrac` команду, специально предназначенную для набора непрерывных дробей. Чтобы использовать `\cfrac` ее, необходимо загрузить [`amsmath` пакет](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) в преамбуле документа. ```latex \documentclass{article} % Использование пакета geometry для уменьшения % ширины графики справочной статьи \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Загрузите amsmath, чтобы получить доступ к команде \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Дроби можно вкладывать друг в друга, но в этом примере обратите внимание, что стандартные математические стили, используемые в знаменателе, не дают идеального результата... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...поэтому мы используем \verb|\displaystyle| для улучшения набора: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Вот пример, в котором используется команда \verb|\cfrac| пакета \texttt{amsmath}: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Вот еще один пример, заимствованный из документации \texttt{amsmath}, который демонстрирует левое и правое размещение числителя с помощью \verb|\cfrac[l]| и \verb|\cfrac[r]| соответственно: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот пример выдаёт следующий результат: ![Графика, демонстрирующая вложенные дроби, набранные в LaTeX](/files/7a47758b78d1d77f3e897df45dc8cb3e1c72219d) ## Заключительный пример Этот пример демонстрирует более сложную непрерывную дробь: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Откройте этот пример в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Этот пример выдаёт следующий результат: ![Изображение продвинутой непрерывной дроби, набранной в LaTeX](/files/4b6fcec01dbd1bc2fa2f924439e89d8e311c1b1d) ## Дополнительное чтение Для получения дополнительной информации см.: * [Математические выражения](/latex/ru/matematika/01-mathematical-expressions.md) * [Нижние и верхние индексы](/latex/ru/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Скобки и круглые скобки](/latex/ru/matematika/03-brackets-and-parentheses.md) * [Выравнивание уравнений с помощью amsmath](/latex/ru/matematika/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Операторы](/latex/ru/matematika/07-operators.md) * [Математические шрифты](/latex/ru/matematika/12-mathematical-fonts.md) * [Не слишком краткое введение в LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/matematika/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.