> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/matematika/09-integrals-sums-and-limits.md).
# Интегралы, суммы и пределы
## Интегралы
Интегральное выражение можно добавить с помощью `\int_{lower}^{upper}` команды.
Обратите внимание, что интегральное выражение может выглядеть немного по-разному в инлайновом и отображаемом математическом режиме.
| Код LaTeX | Вывод |
| -------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Интеграл \(\int_{a}^{b} x^2 \,dx\) внутри текста` |  |
| `\[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \]` |  |
## Кратные интегралы
Чтобы получить двойные/тройные/кратные интегралы и контурные интегралы, необходимо использовать `amsmath` и `esint` (для контурных интегралов) пакеты.
| Код LaTeX | Вывод |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- |
| `latex
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\end{gather*}
` |  |
| `latex
\[
\oint_V f(s) \,ds
\]
` |  |
## Суммы и произведения
Как и интеграл, выражение суммы можно добавить с помощью `\sum_{lower}^{upper}` команды.
| Код LaTeX | Вывод |
| ------------------------------------------------------ | ----------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Сумма $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1$ внутри текста` |  |
| `\[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \]` |  |
Аналогичным образом можно получить выражение с произведением последовательности множителей, используя `\prod_{lower}^{upper}` команды.
| Код LaTeX | Вывод |
| --------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Произведение $\prod_{i=a}^{b} f(i)$ внутри текста` |  |
| `\[ \prod_{i=a}^{b} f(i) \]` |  |
## Пределы
Выражение предела можно добавить с помощью `\lim_{lower}` команды.
| Код LaTeX | Вывод |
| ----------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- |
| `Предел $\lim_{x\to\infty} f(x)$ внутри текста` |  |
| `\[ \lim_{x\to\infty} f(x) \]` |  |
## Примеры
Вот пример документа LaTeX:
```latex
\documentclass{article}
\title{Интегралы, суммы и пределы}
\author{Overleaf}
\date{}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\maketitle
\section{Интегралы}
Интеграл \(\int_{a}^{b} x^2 dx\) внутри текста.
\medskip
То же интегральное выражение в отображаемом виде:
\[
\int_{a}^{b} x^2 \,dx
\]
и кратные интегралы:
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\\
\oint_V f(s) \,ds
\end{gather*}
\section{Суммы и произведения}
Сумма \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1\) внутри текста.
Та же сумма в отображаемом виде:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1
\]
Произведение \(\prod_{i=a}^{b} f(i)\) внутри текста.
То же произведение в отображаемом виде:
\[
\prod_{i=a}^{b} f(i)
\]
\section{Пределы}
Предел \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) внутри текста.
То же предельное выражение в отображаемом виде:
\[
\lim_{x\to\infty} f(x)
\]
\end{document}
```
[Откройте этот пример в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=lualatex\&snip_name=Integrals%2C+Sums+and+Limits\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BIntegrals%2C+Sums+and+Limits%7D%0A%5Cauthor%7BOverleaf%7D%0A%5Cdate%7B%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Cmaketitle%0A%0A%5Csection%7BIntegrals%7D%0A%0AIntegral+%5C%28%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+dx%5C%29+inside+text.%0A%0A%5Cmedskip%0A%0AThe+same+integral+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+%5C%2Cdx%0A%5C%5D%0Aand+multiple+integrals%3A%0A%5Cbegin%7Bgather%2A%7D%0A++++%5Ciint_V+%5Cmu%28u%2Cv%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiint_V+%5Cmu%28u%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiiint_V+%5Cmu%28t%2Cu%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdt%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Cidotsint_V+%5Cmu%28u_1%2C%5Cdots%2Cu_k%29+%5C%2Cdu_1+%5Cdots+du_k%0A%5C%5C%0A++++%5Coint_V+f%28s%29+%5C%2Cds%0A%5Cend%7Bgather%2A%7D%0A%0A%5Csection%7BSums+and+products%7D%0A%0ASum+%5C%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+sum+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%0A%5C%5D%0A%0AProduct+%5C%28%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+product+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Csection%7BLimits%7D%0A%0ALimit+%5C%28%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+limit+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D)
## Дополнительное чтение
Для получения дополнительной информации см.
* [Математические выражения](/latex/ru/matematika/01-mathematical-expressions.md)
* [Нижние и верхние индексы](/latex/ru/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md)
* [Дроби и биномиальные коэффициенты](/latex/ru/matematika/05-fractions-and-binomials.md)
* [Стиль отображения в математическом режиме](/latex/ru/matematika/10-display-style-in-math-mode.md)
---
# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.
## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:
```
GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/ru/matematika/09-integrals-sums-and-limits.md?ask=&goal=
```
`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.