> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/sv/faltspecifikt/01-theorems-and-proofs.md). # Satsning av teorem och bevis ## Introduktion Matematiska dokument innehåller element som kräver särskild formatering och numrering, såsom satser, definitioner, propositioner, anmärkningar, korollar, lemman och så vidare. Den här artikeln förklarar hur man definierar dessa miljöer i LaTeX. Numrerade miljöer i LaTeX kan definieras med hjälp av kommandot `\newtheorem` som tar två argument: ```latex \newtheorem{theorem}{Sats} ``` * det första är namnet på den miljö som definieras * det andra är ordet som kommer att skrivas ut, i fetstil, i början av miljön. När denna nya miljö har definierats kan den användas som vanligt i dokumentet, avgränsad av `\begin{theorem}` och `\end{theorem}`. Ett exempel visas nedan: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Sats} \begin{document} \section{Introduktion} Satser kan enkelt definieras: \begin{theorem} Låt \(f\) vara en funktion vars derivata existerar i varje punkt, då är \(f\) en kontinuerlig funktion. \end{theorem} \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/3c8ac5a5e2bf6655c9bff9110922563e3023bef4) ## Numrerade satser, definitioner, korollar och lemman Numreringen av miljöerna kan styras med hjälp av två ytterligare parametrar i `\newtheorem` kommandot. Låt oss se: ```latex \newtheorem{theorem}{Sats}[section] \newtheorem{corollary}{Korollarium}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduktion} Satser kan enkelt definieras: \begin{theorem} Låt \(f\) vara en funktion vars derivata existerar i varje punkt, då är \(f\) en kontinuerlig funktion. \end{theorem} \begin{theorem}[Pythagoras sats] \label{pythagorean} Detta är en sats om rätvinkliga trianglar och kan sammanfattas i följande equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} Och en konsekvens av sats \ref{pythagorean} är påståendet i följande korollarium. \begin{corollary} Det finns ingen rätvinklig rektangel vars sidor mäter 3 cm, 4 cm och 6 cm. \end{corollary} Du kan hänvisa till satser som \ref{pythagorean} när en etikett har tilldelats. \begin{lemma} Givet två linjesegment vars längder är \(a\) och \(b\) respektive finns det en reellt tal \(r\) sådant att \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/0835dc1fba5e926e32e89b4edeadfc51a72e3240) Det finns tre nya miljöer definierade i preamblen. **\newtheorem{theorem}{Sats}\[section]** Detta är exemplet som presenterades i inledningen men det har den extra parametern \[section] som nollställer satsräknaren vid varje nytt avsnitt. **\newtheorem{corollary}{Korollarium}\[theorem]** En miljö som kallas corollary skapas, räknaren för denna nya miljö kommer att återställas varje gång en ny theorem-miljö används. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}** I det här fallet kommer, även om en ny miljö som kallas lemma skapas, den att använda samma räknare som theorem-miljön. Vissa berömda satser har sina egna namn; för dessa fall kan du lägga till det namnet inom hakparenteser i miljöns öppningskommando. I exemplet skriver raden `\begin{theorem}[Pythagoras sats]` skriver ut "Pythagoras sats" i början av stycket. Precis som med många andra numrerade element i LaTeX kan kommandot `\label` användas för att referera till satsliknande miljöer i dokumentet. ## Onumrerade satsliknande miljöer Det kan vara användbart att ha en onumrerad satsliknande miljö för att lägga till anmärkningar, kommentarer eller exempel i ett matematiskt dokument. Paketet `amsthm` tillhandahåller denna funktionalitet. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Anmärkning} \begin{document} Onumrerade satsliknande miljöer är också möjliga. \begin{remark} Detta påstående är sant, antar jag. \end{remark} \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/28fc130a8369c859c08b78d8b0aa0c0cd3b0b9e5) Syntaxen för kommandot `\newtheorem*` är densamma som versionen utan stjärna, förutom räknarparametrarna. I detta exempel skapas en ny onumrerad miljö som kallas `remark` skapas. ## Satsstilar En viktig funktion när man arbetar med ett matematiskt dokument är att lätt kunna skilja till exempel definitioner från satser genom deras formatering. Paketet `amsthm` tillhandahåller särskilda kommandon för att åstadkomma detta. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Anmärkning} \begin{document} \section{Introduktion} Onumrerade satsliknande miljöer är också möjliga. \begin{remark} Detta påstående är sant, antar jag. \end{remark} Och nästa är en ganska informell definition \begin{definition}[Fibration] En fibration är en avbildning mellan två topologiska rum som har homotopilyftningsegenskapen för varje rum \(X\). \end{definition} \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/0ffaaf1053bf12bf7e06bd254daa703d02792fab) Kommandot `\theoremstyle{ }` anger stilen för den numrerade miljön som definieras direkt nedanför. I exemplet ovan används stilarna *remark* och *definition* används. Lägg märke till att anmärkningen nu är kursiverad och att texten i miljön använder normalt (Romerskt) typsnitt, medan definitionen å andra sidan också använder Romerskt typsnitt för texten inom den men ordet "Definition" skrivs ut i fetstil. Se [referensguiden](#reference-guide) för fler satsstilar. ## Bevis Bevis är kärnan i matematiska artiklar och böcker och det är brukligt att hålla dem visuellt åtskilda från den vanliga texten i dokumentet. Paketet `amsthm` tillhandahåller miljön `proof` för detta. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Sats}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduktion} \begin{lemma} Givet två linjesegment vars längder är \(a\) och \(b\) respektive finns det ett reellt tal \(r\) sådant att \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} För att bevisa det med motsägelse, försök anta att påståendet är falskt, fortsätt därifrån och så småningom kommer du att hamna i en motsägelse. \end{proof} \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/c84c9daefba5d1364613ead315f3c5ad513174dc) Ordet `Bevis` är kursiverat och det finns lite extra avstånd; dessutom används en speciell symbol för att markera slutet av beviset. Denna symbol kan enkelt ändras; för att lära dig hur, se nästa avsnitt. ## Ändra QED-symbolen Symbolen som skrivs ut i slutet av ett bevis kallas ”QED-symbolen”. För att citera [betydelsen av QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) från Wikipedia: > QED är en initialförkortning av den latinska frasen *quod erat demonstrandum*, som betyder ”således har det bevisats” Det är enkelt att använda en symbol, eller formulering, som du själv väljer för att representera QED-symbolen. Kommandot ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` kan användas för att ersätta den vita standardrutan med en svart ruta som skrivs ut av `$\blacksquare$`, parametern inom klammerparenteserna. Eller så kan du skriva ordet QED explicit: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Här är ett exempel som visar båda alternativen: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Sats}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \begin{document} \section{Introduktion} \begin{lemma} Givet två linjesegment vars längder är \(a\) och \(b\) respektive finns det ett reellt tal \(r\) sådant att \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} För att bevisa det med motsägelse, försök anta att påståendet är falskt, fortsätt därifrån och så småningom kommer du att hamna i en motsägelse. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} För att bevisa det med motsägelse, försök anta att påståendet är falskt, fortsätt därifrån och så småningom kommer du att hamna i en motsägelse. \end{proof} \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/ce070b685024209943b62d5ff04139cf7007f385) ## Referensguide ***Satsstilar*** * `definition` fet rubrik, rak brödtext. Vanligen använd i definitioner, villkor, problem och exempel. * `plain` fet rubrik, kursiverad brödtext. Vanligen använd i satser, lemman, korollar, propositioner och förmodanden. * `remark` kursiverad rubrik, rak brödtext. Vanligen använd i anmärkningar, notiser, annotationer, påståenden, fall, tack och slutsatser. ## Vidare läsning För mer information, se: * [Matematiska uttryck](/latex/sv/matematik/01-mathematical-expressions.md) * [Miljöer](/latex/sv/kommandon/02-environments.md) * [Visningsstil i matematikläge](/latex/sv/matematik/10-display-style-in-math-mode.md) * [Lista över grekiska bokstäver och matematiska symboler](/latex/sv/matematik/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Matematiska typsnitt](/latex/sv/matematik/12-mathematical-fonts.md) * [LaTeX-projekt med flera filer](/latex/sv/dokumentstruktur/08-multi-file-latex-projects.md) * [Korsreferenser till avsnitt och ekvationer](/latex/sv/dokumentstruktur/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Hyperlänkar](/latex/sv/dokumentstruktur/09-hyperlinks.md) * [Den **amsthm** paketdokumentation](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/sv/faltspecifikt/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.