> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/sv/matematik/05-fractions-and-binomials.md). # Bråk och binomialer ## Introduktion Den här artikeln förklarar hur man sätter upp bråk och binomialkoefficienter, med utgångspunkt i följande exempel som använder [`amsmath` paketet](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Binomialkoefficienten, \(\binom{n}{k}\), definieras av uttrycket: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Den [`amsmath` paketet](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) laddas genom att lägga till följande rad i dokumentets preambel: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Här är utdata som genereras: ![Bild som visar LaTeX-sättning av binomialkoefficienten](/files/bb7ca816e0e8b558614da776a69e3572200204b2) ## Visa bråk Bråks visuella utseende ändras beroende på om de förekommer inline, som en del av ett stycke, eller sätts som fristående material på en egen rad. Nästa exempel visar dessa förändringar i utseendet: ```latex \documentclass{article} % Använder paketet geometry för att minska % bredden på grafik i hjälpartikeln \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Bråk kan användas inline i styckestexten, till exempel \(\frac{1}{2}\), eller visas på en egen rad, så här: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![Demonstration av inline- och displaymatematiklägen i LaTeX](/files/07b60e34ef463ee6858a7d8ce800eaa8fa5745ce) * **Obs**: Mer information om inline- och displayversioner av matematik finns i Overleaf-artikeln [Visningsstil i matematikläge](/latex/sv/matematik/10-display-style-in-math-mode.md). Vårt exempelbråk sätts med hjälp av `\frac` kommandot (`\frac{1}{2}`) som har den allmänna formen `\frac{*numerator*}{*denominator*}`. ## Bråk i textstil Följande exempel visar sättning av bråk endast som text genom att använda `\text{...}` kommandot som tillhandahålls av `amsmath` paketet. `\text{...}` kommandot används för att hindra LaTeX från att sätta texten som vanligt matematiskt innehåll. ```latex \documentclass{article} % Använder paketet geometry för att minska % bredden på grafik i hjälpartikeln \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% För kommandot \text{...} \begin{document} Vi använder paketkommandot \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| för att skapa bråk endast som text så här: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Utan kommandot \verb|\text{...}| blir resultatet ser ut så här: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![Textuella bråk](/files/74d53e24d3532fb16dfd89a3f2bc8541ae9a0714) ## Storlek och avstånd i sättad matematik Storleken och avståndet för matematiskt material som sätts med LaTeX [bestäms av algoritmer](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) som tillämpar storleks- och placeringsdata som finns inuti de typsnitt som används för att sätta matematik. Ibland kan det vara nödvändigt, eller önskvärt, att åsidosätta de standardmässiga matematiska stilarna—storlek och avstånd för mattelement—som valts av LaTeX, ett ämne som diskuteras i Overleafs hjälpartikel [Visningsstil i matematikläge](/latex/sv/matematik/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Sammanfattningsvis kan standardstilen/-stilarna som används för att sätta matematik ändras med följande kommandon: * `\textstyle`: tillämpa stilen som används för matematik som sätts i stycken; * `\displaystyle`: tillämpa stilen som används för matematik som sätts på egna rader; * `\scriptstyle`: tillämpa stilen som används för nedsänkta eller upphöjda index; * `\scriptscriptstyle`: tillämpa stilen som används för andra ordningens nedsänkta eller upphöjda index; vilka demonstreras i nästa exempel. ```latex \documentclass{article} % Använder paketet geometry för att minska % bredden på grafik i hjälpartikeln \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Bråk som sätts i ett stycke ser vanligtvis ut så här: \(\frac{3x}{2}\). Du kan tvinga \LaTeX{} att använda den större displaystilen, till exempel \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), vilket också påverkar radavståndet. Storleken på matematik i ett stycke kan också minskas: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) eller \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). För exemplet med \verb|\scriptscriptstyle|, notera minskningen i avstånd: tecken flyttas närmare \textit{vinculum} (linjen som skiljer täljare och nämnare). På samma sätt kan du ändra stilen för matematik som normalt sätts i displaystil: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{and}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![Bild som visar ändringar av LaTeX:s standardmatematikstilar](/files/80c144d97a8c14c8d5006ed00298fb94b5664de5) ## Kedjebråk Bråk kan nästas för att få mer komplexa uttryck. Det andra paret bråk som visas i följande exempel använder båda `\cfrac` kommandot, som är särskilt utformat för att skapa kedjebråk. För att använda `\cfrac` måste du ladda [`amsmath` paketet](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) i dokumentets preambel. ```latex \documentclass{article} % Använder paketet geometry för att minska % bredden på grafik i hjälpartikeln \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Ladda amsmath för att få tillgång till kommandot \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Bråk kan nästas men, i detta exempel, notera hur standardmatematikstilarna, som används i nämnaren, inte ger ideala resultat... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...så vi använder \verb|\displaystyle| för att förbättra sättningen: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Här är ett exempel som använder kommandot \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Här är ett annat exempel, hämtat från dokumentationen för \texttt{amsmath}, som visar vänster och höger placering av täljaren med hjälp av \verb|\cfrac[l]| respektive \verb|\cfrac[r]|: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![Grafik som visar inneslutna bråk sätta i LaTeX](/files/3f6258e8267e73966dde7640e880751862db01e4) ## Ett sista exempel Detta exempel visar ett mer komplext kedjebråk: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Öppna detta exempel i Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Det här exemplet ger följande utdata: ![Bild av ett avancerat kedjebråk satt med LaTeX](/files/3da727ec60b2d75b144865a05afd7e47065b11bb) ## Vidare läsning För mer information, se: * [Matematiska uttryck](/latex/sv/matematik/01-mathematical-expressions.md) * [Nedsänkta och upphöjda tecken](/latex/sv/matematik/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Hakparenteser och parenteser](/latex/sv/matematik/03-brackets-and-parentheses.md) * [Justering av ekvationer med amsmath](/latex/sv/matematik/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Operatorer](/latex/sv/matematik/07-operators.md) * [Matematiska typsnitt](/latex/sv/matematik/12-mathematical-fonts.md) * [Den inte så korta introduktionen till LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/sv/matematik/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.