> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md).

# Підрядкові та надрядкові індекси

## Вступ

Використання верхніх і нижніх індексів дуже поширене в математичних виразах із показниками степеня, індексами та деякими спеціальними операторами. У цій статті пояснюється, як писати верхні та нижні індекси в простих виразах, інтегралах, сумах тощо.

Означені інтеграли — одні з найпоширеніших математичних виразів, тож розгляньмо приклад:

```latex
\[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \]
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей код LaTeX дає такий результат:

$$\int\limits\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$

За домовленістю, верхні та нижні індекси в LaTeX створюються за допомогою символів `^` та `_` відповідно; наприклад, показники степеня, застосовані до $$x$$ та $$y$$ у наведеному вище фрагменті коду. Ці символи також можна використовувати з математичними символами, такими як інтеграл (`\int`) наведений у прикладі вище, де `_` використовується для задання нижньої межі, а `^` — для верхньої межі.

Команда `\limits` змінює спосіб відображення меж в інтегралі; якщо його немає, межі будуть розташовані біля символу інтеграла, а не над і під ним:

```latex
\[ \int_0^1 x^2 + y^2 \ dx \]
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Cint_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей код LaTeX дає такий результат:

$$\int\_0^1 x^2 + y^2 \ dx$$

## Докладніші приклади

Символи `_` та `^` також можна поєднувати в одному виразі, наприклад:

```latex
\[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \]
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей код LaTeX дає такий результат:

$$a\_1^2 + a\_2^2 = a\_3^2$$

Якщо вираз містить довгі верхні або нижні індекси, їх потрібно взяти в дужки, оскільки LaTeX зазвичай застосовує математичні команди `^` та `_` лише до наступного символу:

```latex
\[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij}  \]
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+3\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей код LaTeX дає такий результат:

$$x^{2 \alpha} - 1 = y\_{ij} + y\_{ij}$$

Нижні та верхні індекси можна вкладати й поєднувати різними способами. Однак під час вкладення нижніх/верхніх індексів пам’ятайте, що кожна команда має стосуватися одного елемента; це може бути одна літера або цифра, як у наведених вище прикладах, або складніший математичний вираз, узятий у фігурні або квадратні дужки. Наприклад:

```latex
\[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}  \]
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D++%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей код LaTeX дає такий результат:

$$(a^n)^{r+s} = a^{nr+ns}$$

## Оператори з нижніми та верхніми індексами

Деякі математичні оператори можуть вимагати нижніх і верхніх індексів. Найчастіше це стосується інтеграла `\int` (перевірте [вступі](#introduction)) і оператора сумування (`\sum`) — їхні межі набираються точно за допомогою нижніх і верхніх індексів.

```latex
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
= \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \]
```

[Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%0A%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

Цей код LaTeX дає такий результат:

$$\sum\_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod\_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

Для інших часто використовуваних операторів, які потребують нижніх/верхніх індексів, перевірте [довідковий посібник](#reference-guide).

## Відкрийте всі фрагменти коду в Overleaf

Скористайтеся наведеним нижче посиланням, щоб відкрити всі наведені вище приклади як один проєкт Overleaf:

```latex
Ось кілька прикладів простого використання нижніх і верхніх індексів:

\[ \int\limits_0^1 x^2 + y^2 \ dx \]

\vspace{1cm}

Використання верхніх і нижніх індексів в одному виразі

\[ a_1^2 + a_2^2 = a_3^2 \]

\vspace{1cm}

Довші нижні та верхні індекси:

\[ x^{2 \alpha} - 1 = y_{ij} + y_{ij}  \]

\vspace{1cm}

Вкладені нижні та верхні індекси

\[ (a^n)^{r+s} = a^{nr+ns} \]

\vspace{1cm}

Приклад математичного рівняння з нижніми та верхніми індексами

\[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} \]

\vspace{1cm}

Використання квадратного кореня

\[ \sqrt[4]{4ac} = \sqrt{4ac}\sqrt{4ac} \]
```

[Відкрийте всі наведені вище приклади як один проєкт Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Superscripts+example+6\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BSubscripts+and+Superscripts%7D%0A%5Cauthor%7BExamples+from+Overleaf%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cmaketitle%0AHere+are+some+examples+of+simple+usage+of+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cint%5Climits_0%5E1+x%5E2+%2B+y%5E2+%5C+dx+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AUsing+superscript+and+subscripts+in+the+same+expression%0A%0A%5C%5B+a_1%5E2+%2B+a_2%5E2+%3D+a_3%5E2+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ALonger+subscripts+and+superscripts%3A%0A%0A%5C%5B+x%5E%7B2+%5Calpha%7D+-+1+%3D+y_%7Bij%7D+%2B+y_%7Bij%7D++%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ANested+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%28a%5En%29%5E%7Br%2Bs%7D+%3D+a%5E%7Bnr%2Bns%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0AExample+of+a+mathematical+equation+with+subscripts+and+superscripts%0A%0A%5C%5B+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Es%7D+%3D+%5Cprod_p+%5Cfrac%7B1%7D%7B1+-+p%5E%7B-s%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cvspace%7B1cm%7D%0A%0ASquared+root+usage%0A%0A%5C%5B+%5Csqrt%5B4%5D%7B4ac%7D+%3D+%5Csqrt%7B4ac%7D%5Csqrt%7B4ac%7D+%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

## Довідковий посібник

Додаткові приклади та оператори

| Розмітка LaTeX        | Відображається як                                                                                                                           |
| --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| `a_{n_i}`             | a n i {\displaystyle a\_{n\_{i}}} ![{\displaystyle a\_{n\_{i}}}](/files/177f4c877447c8fcb9509ae0598f1d7f56213145)                           |
| `\int_{i=1}^n`        | ∫ i = 1 n {\displaystyle \int \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \int \_{i=1}^{n}}](/files/576dae35725b82473692297bc1f793ed45c94309)             |
| `\sum_{i=1}^{\infty}` | ∑ i = 1 ∞ {\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }} ![{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }}](/files/631a10fe1696c55cad95f5addc8e5be5495349fe) |
| `\prod_{i=1}^n`       | ∏ i = 1 n {\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \prod \_{i=1}^{n}}](/files/96ee9f8ccf1cba0c80f58c0423003e0e6d9edee4)           |
| `\cup_{i=1}^n`        | ∪ i = 1 n {\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cup \_{i=1}^{n}}](/files/51dd1136ea01b6c030754f1808f28a2983d87f75)             |
| `\cap_{i=1}^n`        | ∩ i = 1 n {\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \cap \_{i=1}^{n}}](/files/8444423edba55f7503e360df3204c70e6cbe6a32)             |
| `\oint_{i=1}^n`       | ∮ i = 1 n {\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \oint \_{i=1}^{n}}](/files/28db7e1174f55df7eb23dbdca37dd02d56e72d5a)           |
| `\coprod_{i=1}^n`     | ∐ i = 1 n {\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}} ![{\displaystyle \coprod \_{i=1}^{n}}](/files/ae34c76e4bb652f91bff4f3aacf54ef4fe2c0e36)       |

Також є `bigcup` та `bigcap` команди, подібні до `cup` та `cap` але вони використовуються для більших виразів.

## Додаткове читання

Для отримання додаткової інформації див.

* [Список грецьких літер і математичних символів](/latex/uk/matematika/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [Оператори](/latex/uk/matematika/07-operators.md)
* [Інтеграли, суми та межі](/latex/uk/matematika/09-integrals-sums-and-limits.md)
* [Математичні шрифти](/latex/uk/matematika/12-mathematical-fonts.md)
* [Дужки та круглі дужки](/latex/uk/matematika/03-brackets-and-parentheses.md)
* [Великий, повний список символів LaTeX](http://www.rpi.edu/dept/arc/training/latex/LaTeX_symbols.pdf) (повний список доступних математичних символів у **amssymb** пакеті)
* [Не зовсім короткий вступ до LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/)
* [Вирівнювання рівнянь за допомогою amsmath](/latex/uk/matematika/06-aligning-equations-with-amsmath.md)


---

# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.

## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:

```
GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md?ask=<question>&goal=<endgoal>
```

`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.

The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.