> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/03-brackets-and-parentheses.md). # Дужки та круглі дужки ## Вступ Круглі дужки та дужки дуже поширені в математичних формулах. У LaTeX ви можете легко керувати розміром і стилем дужок; ця стаття пояснює, як. Ось таблиця з переліком деяких поширених математичних дужок і круглих дужок, що використовуються в LaTeX: | Тип | Розмітка LaTeX | Відображається як | | ----------------- | --------------------- | -------------------------- | | Круглі дужки | `(x+y)` | $$(x+y)$$ | | Квадратні дужки | `[x+y]` | $$\[x+y]$$ | | Фігурні дужки | `\{ x+y \}` | $${ x+y }$$ | | Кутові дужки | `\langle x+y \rangle` | $$\langle x+y\rangle$$ | | Вертикальні риски | `\|x+y\|` | $$\displaystyle\| x+y \|$$ | | Подвійні риски | \`\\ | x+y\\ | ## Декілька прикладів Розмір дужок і круглих дужок можна задавати вручну, або ж їх можна динамічно змінювати в документі, як показано в наступному прикладі: ```latex \[ F = G \left( \frac{m_1 m_2}{r^2} \right) \] ``` [Відкрити цей фрагмент LaTeX в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+1\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%0AF+%3D+G+%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bm_1+m_2%7D%7Br%5E2%7D+%5Cright%29%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Наведений вище приклад дає такий результат: $$F = G \left( \frac{m\_1 m\_2}{r^2} \right)$$ Зверніть увагу, що для вставлення круглих або квадратних дужок, `\left` та `\right` використовуються команди. Навіть якщо ви використовуєте лише одну дужку, *обидві* команди є обов’язковими. `\left` та `\right` можуть динамічно змінювати розмір, як показано в наступному прикладі: ```latex \[ \left[ \frac{ N } { \left( \frac{L}{p} \right) - (m+n) } \right] \] ``` [Відкрити цей фрагмент LaTeX в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+2\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B+%0A+%5Cleft%5B++%5Cfrac%7B+N+%7D+%7B+%5Cleft%28+%5Cfrac%7BL%7D%7Bp%7D+%5Cright%29++-+%28m%2Bn%29+%7D++%5Cright%5D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Наведений вище приклад дає такий результат: $$\left\[ \frac{ N } { \left( \frac{L}{p} \right) - (m+n) } \right]$$ Під час запису багаторядкових рівнянь у `align`, `align*` або `aligned` середовищах, `\left` та `\right` команди мають бути збалансовані *на кожному рядку та на тій самій стороні від `&`*. Тому наступний фрагмент коду завершиться помилками: ```latex \begin{align*} y = 1 + & \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots \\ & \quad + \frac{1}{x^{n-1}} + \frac{1}{x^n} \right) \end{align*} ``` [Відкрийте цей фрагмент LaTeX в Overleaf (з помилками)](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+with+errors\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0Ay++%3D+1+%2B+%26+%5Cleft%28++%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+%2B+%5Cldots++%5C%5C%0A++%26+%5Cquad++%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7Bn-1%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D+%5Cright%29%0A%5Cend%7Balign%2A%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Рішення полягає у використанні «невидимих» дужок для урівноваження, тобто додаванні `\right.` в кінці першого рядка, і `\left.` на початку другого рядка після `&`: ```latex \begin{align*} y = 1 + & \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots \right. \\ &\left. \quad + \frac{1}{x^{n-1}} + \frac{1}{x^n} \right) \end{align*} ``` [Відкрити цей фрагмент LaTeX в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+4\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0Ay++%3D+1+%2B+%26+%5Cleft%28++%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D+%2B+%5Cldots+%5Cright.+%5C%5C%0A++%26%5Cleft.+%5Cquad+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7Bn-1%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5En%7D+%5Cright%29%0A%5Cend%7Balign%2A%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Наведений вище приклад дає такий результат: ![Paren-ex03.png](/files/65d7cb0599bf1c1e7e1d347f8be1a28f76444da7) ## Керування типами та розмірами Розмір дужок можна явно контролювати, як показано в цьому фрагменті коду LaTeX: ```latex \[ \Biggl \langle 3x+7 \biggr \rangle \] ``` [Відкрити цей фрагмент LaTeX в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=brackets+and+parentheses+example+5\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5C%5B%0A+%5CBiggl+%5Clangle+3x%2B7+%5Cbiggr+%5Crangle%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Наведений вище приклад дає такий результат: $$\Biggl \langle 3x+7 \biggr \rangle$$ Команди `\Biggl` та `\biggr` визначають розмір розділювачів `<` та `>` відповідно, а `l` або `r` вказуючи, чи це ліва чи права дужка. Повний список дужок і розмірів див. у [довідковий посібник](#reference-guide). ## Довідковий посібник | Розмітка LaTeX | Відображається як | | ----------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------- | | `\bigl( \Bigl( \biggl( \Biggl(` | $$\big( \Big( \bigg( \Bigg($$ | | `\bigr] \Bigr] \biggr] \Biggr]` | $$\big] \Big] \bigg] \Bigg]$$ | | `\bigl\{ \Bigl\{ \biggl\{ \Biggl\{` | $$\big{ \Big{ \bigg{ \Bigg{$$ | | `\bigl \langle \Bigl \langle \biggl \langle \Biggl \langle` | $$\big \langle \Big \langle \bigg \langle \Bigg \langle$$ | | `\bigr \rangle \Bigr \rangle \biggr \rangle \Biggr \rangle` | $$\big \rangle \Big \rangle \bigg \rangle \Bigg \rangle$$ | | `\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\|` | $$\big\| ; \Big\| ; \bigg\| ; \Bigg\|$$ | | \`\big\\ | \Big\\ | | `\bigl \lceil \Bigl \lceil \biggl \lceil \Biggl \lceil` | $$\big \lceil \Big \lceil \bigg \lceil \Bigg \lceil$$ | | `\bigr \rceil \Bigr \rceil \biggr \rceil \Biggr \rceil` | $$\big \rceil \Big \rceil \bigg \rceil \Bigg \rceil$$ | | `\bigl \lfloor \Bigl \lfloor \biggl \lfloor \Biggl \lfloor` | $$\big \lfloor \Big \lfloor \bigg \lfloor \Bigg \lfloor$$ | | `\bigr \rfloor \Bigr \rfloor \biggr \rfloor \Biggr \rfloor` | $$\big \rfloor \Big \rfloor \bigg \rfloor \Bigg \rfloor$$ | ## Додаткове читання * [Математичні вирази](/latex/uk/matematika/01-mathematical-expressions.md) * [Нижні та верхні індекси](/latex/uk/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Вирівнювання рівнянь за допомогою amsmath](/latex/uk/matematika/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Стиль відображення в математичному режимі](/latex/uk/matematika/10-display-style-in-math-mode.md) * [Оператори](/latex/uk/matematika/07-operators.md) * [Не зовсім короткий вступ до LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/03-brackets-and-parentheses.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.