> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/05-fractions-and-binomials.md). # Дроби та біноми ## Вступ Ця стаття пояснює, як набирати дроби та біноміальні коефіцієнти, починаючи з наведеного нижче прикладу, який використовує [`amsmath` accents](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en): ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} Біноміальний коефіцієнт, \(\binom{n}{k}\), визначається виразом: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \end{document} ``` [Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Fractions+and+Binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AThe+binomial+coefficient%2C+%5C%28%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5C%29%2C+is+defined+by+the+expression%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%3D+%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Функція [`amsmath` accents](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) завантажується шляхом додавання такого рядка до преамбули документа: ```latex \usepackage{amsmath} ``` Ось отриманий результат: ![Зображення, що показує набір біноміального коефіцієнта в LaTeX](/files/a3f63177fd8bf750292200c60851a44ad8dd3917) ## Відображення дробів Візуальний вигляд дробів змінюватиметься залежно від того, чи вони з’являються в рядку, як частина абзацу, чи набираються як окремий матеріал, відображений на окремому рядку. Наступний приклад демонструє ці зміни у візуальному вигляді: ```latex \documentclass{article} % Використання пакета geometry для зменшення % ширини графіки довідкової статті \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \begin{document} Дроби можна використовувати в рядку в тексті абзацу, наприклад наприклад \(\frac{1}{2}\), або виносити на окремий рядок, такий, як цей: \[\frac{1}{2}\] \end{document} ``` [Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Inline+and+display+of+fractions+and+binomials\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+used+inline+within+the+paragraph+text%2C+for+%0Aexample+%5C%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%29%2C+or+displayed+on+their+own+line%2C+%0Asuch+as+this%3A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Цей приклад дає такий результат: ![Демонстрація вбудованого та окремого математичних режимів у LaTeX](/files/9796e11d00940a4cb85176bc394bc3e5b07117ff) * **Примітка**: Докладнішу інформацію про вбудовані та окремі версії математики можна знайти в статті Overleaf [Стиль відображення в математичному режимі](/latex/uk/matematika/10-display-style-in-math-mode.md). Наш приклад дробу набирається за допомогою `\frac` команди (`\frac{1}{2}`) яка має загальний вигляд `\frac{*numerator*}{*denominator*}`. ## Дроби у текстовому стилі Наступний приклад демонструє набір дробів лише текстом із використанням `\text{...}` команди, наданої `amsmath` пакет. Опція `\text{...}` Команда використовується, щоб запобігти набору тексту в LaTeX як звичайного математичного вмісту. ```latex \documentclass{article} % Використання пакета geometry для зменшення % ширини графіки довідкової статті \usepackage[textwidth=8cm]{geometry} \usepackage{amsmath}% Для команди \text{...} \begin{document} Ми використовуємо команду пакета \texttt{amsmath} \verb|\text{...}| для створення дробів лише з тексту ось так: \[\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}\] Без команди \verb|\text{...}| результат виглядає так: \[\frac{numerator}{denominator}\] \end{document} ``` [Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Text+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D8cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%25+For+the+%5Ctext%7B...%7D+command%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AWe+use+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+package+command%0A%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+to+create+text-only+fractions%0Alike+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumerator%7D%7D%7B%5Ctext%7Bdenominator%7D%7D%5C%5D%0A%0AWithout+the+%5Cverb%7C%5Ctext%7B...%7D%7C+command+the+result+%0Alooks+like+this%3A%0A%0A%5C%5B%5Cfrac%7Bnumerator%7D%7Bdenominator%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Цей приклад дає такий результат: ![Текстові дроби](/files/83a6b59b8ff7aafefe20fd0fccb7132eae230a00) ## Розмір і інтервали в набраній математиці Розмір і інтервали математичного матеріалу, набраного LaTeX, є [визначаються алгоритмами](https://tug.org/TUGboat/tb27-1/tb86jackowski.pdf) які застосовують дані про розмір і позиціювання, що містяться у шрифтах, які використовуються для набору математики. Подекуди може виникнути потреба або бажання змінити математичні стилі за замовчуванням — розмір і інтервали математичних елементів — обрані LaTeX; ця тема обговорюється в довідковій статті Overleaf [Стиль відображення в математичному режимі](/latex/uk/matematika/10-display-style-in-math-mode.md#overriding-default-mathematical-styles). Підсумовуючи, стилі за замовчуванням, які використовуються для набору математики, можна змінити за допомогою таких команд: * `\textstyle`: застосовує стиль, що використовується для математики, набраної в абзацах; * `\displaystyle`: застосовує стиль, що використовується для математики, набраної на окремих рядках; * `\scriptstyle`: застосовує стиль, що використовується для нижніх або верхніх індексів; * `\scriptscriptstyle`: застосовує стиль, що використовується для індексів другого порядку; які продемонстровано в наступному прикладі. ```latex \documentclass{article} % Використання пакета geometry для зменшення % ширини графіки довідкової статті \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} \begin{document} Дроби, набрані в абзаці, зазвичай виглядають так: \(\frac{3x}{2}\). Ви можете примусити \LaTeX{} використовувати більший стиль display, наприклад \( \displaystyle \frac{3x}{2} \), що також впливає на міжрядковий інтервал. Розмір математики в абзаці також можна зменшити: \(\scriptstyle \frac{3x}{2}\) або \(\scriptscriptstyle \frac{3x}{2}\). У прикладі з \verb|\scriptscriptstyle| зверніть увагу на зменшення інтервалів: символи розташовуються ближче до \textit{вінкулума} (лінії, що відокремлює чисельник і знаменник). Так само можна змінити стиль математики, яку зазвичай набирають у відображеному стилі: \[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{та}\quad \textstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad \textrm{та}\quad \scriptstyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\] \end{document} ``` [Відкрити цей приклад в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+default+math+styles\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0AFractions+typeset+within+a+paragraph+typically+look+like+this%3A+%5C%28%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+You+can+force+%5CLaTeX%7B%7D+to+use+the+larger+display+style%2C+such+as+%5C%28+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D+%5C%29%2C+which+also+has+an+effect+on+line+spacing.+The+size+of+maths+in+a+paragraph+can+also+be+reduced%3A+%5C%28%5Cscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29+or+%5C%28%5Cscriptscriptstyle+%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5C%29.+For+the+%5Cverb%7C%5Cscriptscriptstyle%7C+example+note+the+reduction+in+spacing%3A+characters+are+moved+closer+to+the+%5Ctextit%7Bvinculum%7D+%28the+line+separating+numerator+and+denominator%29.%0A%0AEqually%2C+you+can+change+the+style+of+mathematics+normally+typeset+in+display+style%3A%0A%0A%5C%5Bf%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Ctextstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5Cquad+%5Ctextrm%7Band%7D%5Cquad+%5Cscriptstyle+f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Цей приклад дає такий результат: ![Зображення, що показує зміни стилів математики за замовчуванням у LaTeX](/files/aac0a3fb5f4d964e4cb473270c91e17695726f43) ## Ланцюгові дроби Дроби можна вкладати, щоб отримати складніші вирази. Друга пара дробів, показана в наведеному нижче прикладі, обидві використовують `\cfrac` команду, спеціально призначену для створення ланцюгових дробів. Щоб використовувати `\cfrac` вам потрібно завантажити [`amsmath` accents](https://ctan.org/pkg/amsmath?lang=en) у преамбулі документа. ```latex \documentclass{article} % Використання пакета geometry для зменшення % ширини графіки довідкової статті \usepackage[textwidth=9.5cm]{geometry} % Завантажте amsmath, щоб отримати доступ до команди \cfrac{...}{...} \usepackage{amsmath} \begin{document} Дроби можна вкладати, але в цьому прикладі зверніть увагу, що стилі математики за замовчуванням, як вони використовуються в знаменнику, не дають ідеального результату... \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] \noindent ...тому ми використовуємо \verb|\displaystyle|, щоб поліпшити набір: \[ \frac{1+\frac{a}{b}} {\displaystyle 1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \] Ось приклад, який використовує команду \texttt{amsmath} \verb|\cfrac|: \[ a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \] Ось ще один приклад, взятий із документації \texttt{amsmath}, який демонструє ліве та праве розміщення чисельника за допомогою \verb|\cfrac[l]| і \verb|\cfrac[r]| відповідно: \[ \cfrac[l]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac[r]{1}{\sqrt{2}+ \cfrac{1}{\sqrt{2}+\dotsb}}} \] \end{document} ``` [Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+continued+fractions\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%25+Using+the+geometry+package+to+reduce%0A%25+the+width+of+help+article+graphics%0A%5Cusepackage%5Btextwidth%3D9.5cm%5D%7Bgeometry%7D%0A%25+Load+amsmath+to+access+the+%5Ccfrac%7B...%7D%7B...%7D+command%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AFractions+can+be+nested+but%2C+in+this+example%2C+note+how+the+default+math+styles%2C+as+used+in+the+denominator%2C+don%27t+produce+ideal+results...%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0A%5Cnoindent+...so+we+use+%5Cverb%7C%5Cdisplaystyle%7C+to+improve+typesetting%3A%0A%0A%5C%5B+%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D+%7B%5Cdisplaystyle+1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%7D%7D+%5C%5D%0A%0AHere+is+an+example+which+uses+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+%5Cverb%7C%5Ccfrac%7C+command%3A%0A%0A%5C%5B%0A++a_0%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_1%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_2%2B%5Ccfrac%7B1%7D%7Ba_3%2B%5Ccdots%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0AHere+is+another+example%2C+derived+from+the+%5Ctexttt%7Bamsmath%7D+documentation%2C+which+demonstrates+left%0Aand+right+placement+of+the+numerator+using+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Bl%5D%7C+and+%5Cverb%7C%5Ccfrac%5Br%5D%7C+respectively%3A%0A%5C%5B%0A%5Ccfrac%5Bl%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%5Br%5D%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%0A%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Cdotsb%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Цей приклад дає такий результат: ![Графіка, що демонструє вкладені дроби, набрані в LaTeX](/files/27401db356bed6d78517701ec895061878d48cde) ## Останній приклад Цей приклад демонструє складніший ланцюговий дріб: ```latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \begin{document} \newcommand*{\contfrac}[2]{% { \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}% \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}% } } \[ a_0 + \contfrac{a_1}{ \contfrac{a_2}{ \contfrac{a_3}{ \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots} }}} \] \end{document} ``` [Відкрийте цей приклад в Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=A+more+complex+continued+fraction\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Cnewcommand%2A%7B%5Ccontfrac%7D%5B2%5D%7B%25%0A%7B%0A++%5Crlap%7B%24%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cphantom%7B%231%7D%7D%24%7D%25%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%231%2B%232%7D%25%0A%7D%0A%7D%0A%5C%5B%0A++a_0+%2B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_1%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_2%7D%7B%0A++%5Ccontfrac%7Ba_3%7D%7B%0A++%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B0pt%7D%7B0%7D%7B%7D%7B%5Cddots%7D%0A++%7D%7D%7D%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Цей приклад дає такий результат: ![Зображення складного ланцюгового дробу, набраного в LaTeX](/files/51332f81ddb60ab31eb3f12eaf54360c4a581315) ## Додаткове читання Докладніше див.: * [Математичні вирази](/latex/uk/matematika/01-mathematical-expressions.md) * [Нижні та верхні індекси](/latex/uk/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Дужки та круглі дужки](/latex/uk/matematika/03-brackets-and-parentheses.md) * [Вирівнювання рівнянь за допомогою amsmath](/latex/uk/matematika/06-aligning-equations-with-amsmath.md) * [Оператори](/latex/uk/matematika/07-operators.md) * [Математичні шрифти](/latex/uk/matematika/12-mathematical-fonts.md) * [Не зовсім короткий вступ до LaTeX2ε](http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/05-fractions-and-binomials.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.