> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/09-integrals-sums-and-limits.md).
# Інтеграли, суми та межі
## Інтеграли
Інтегральний вираз можна додати, використовуючи `\int_{lower}^{upper}` команду.
Зауважте, що інтегральний вираз може здаватися дещо іншим у вбудованому та відображуваному математичному режимі.
| Код LaTeX | Вивід |
| --------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Інтеграл \(\int_{a}^{b} x^2 \,dx\) у тексті` |  |
| `\[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \]` |  |
## Кратні інтеграли
Щоб отримати подвійні/потрійні/кратні інтеграли та циклічні інтеграли, потрібно використовувати `amsmath` та `esint` (для циклічних інтегралів) пакети.
| Код LaTeX | Вивід |
| ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- |
| `latex
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\end{gather*}
` |  |
| `latex
\[
\oint_V f(s) \,ds
\]
` |  |
## Суми та добутки
Подібно до інтеграла, вираз суми можна додати, використовуючи `\sum_{lower}^{upper}` команду.
| Код LaTeX | Вивід |
| ------------------------------------------------ | ----------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Сума $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1$ у тексті` |  |
| `\[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \]` |  |
Аналогічним чином можна отримати вираз із добутком послідовності множників, використовуючи `\prod_{lower}^{upper}` команду.
| Код LaTeX | Вивід |
| ----------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------- |
| `Добуток $\prod_{i=a}^{b} f(i)$ у тексті` |  |
| `\[ \prod_{i=a}^{b} f(i) \]` |  |
## Границі
Граничний вираз можна додати, використовуючи `\lim_{lower}` команду.
| Код LaTeX | Вивід |
| ------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- |
| `Границя $\lim_{x\to\infty} f(x)$ у тексті` |  |
| `\[ \lim_{x\to\infty} f(x) \]` |  |
## Приклади
Ось приклад документа LaTeX:
```latex
\documentclass{article}
\title{Інтеграли, суми та границі}
\author{Overleaf}
\date{}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\maketitle
\section{Інтеграли}
Інтеграл \(\int_{a}^{b} x^2 dx\) у тексті.
\medskip
Той самий інтеграл у відображенні:
\[
\int_{a}^{b} x^2 \,dx
\]
та кратні інтеграли:
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\\
\oint_V f(s) \,ds
\end{gather*}
\section{Суми та добутки}
Сума \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1\) у тексті.
Така сама сума у відображенні:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1
\]
Добуток \(\prod_{i=a}^{b} f(i)\) у тексті.
Той самий добуток у відображенні:
\[
\prod_{i=a}^{b} f(i)
\]
\section{Границі}
Границя \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) у тексті.
Та сама границя у відображенні:
\[
\lim_{x\to\infty} f(x)
\]
\end{document}
```
[Відкрити цей приклад в Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=lualatex\&snip_name=Integrals%2C+Sums+and+Limits\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BIntegrals%2C+Sums+and+Limits%7D%0A%5Cauthor%7BOverleaf%7D%0A%5Cdate%7B%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Cmaketitle%0A%0A%5Csection%7BIntegrals%7D%0A%0AIntegral+%5C%28%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+dx%5C%29+inside+text.%0A%0A%5Cmedskip%0A%0AThe+same+integral+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+%5C%2Cdx%0A%5C%5D%0Aand+multiple+integrals%3A%0A%5Cbegin%7Bgather%2A%7D%0A++++%5Ciint_V+%5Cmu%28u%2Cv%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiint_V+%5Cmu%28u%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiiint_V+%5Cmu%28t%2Cu%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdt%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Cidotsint_V+%5Cmu%28u_1%2C%5Cdots%2Cu_k%29+%5C%2Cdu_1+%5Cdots+du_k%0A%5C%5C%0A++++%5Coint_V+f%28s%29+%5C%2Cds%0A%5Cend%7Bgather%2A%7D%0A%0A%5Csection%7BSums+and+products%7D%0A%0ASum+%5C%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+sum+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%0A%5C%5D%0A%0AProduct+%5C%28%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+product+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Csection%7BLimits%7D%0A%0ALimit+%5C%28%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+limit+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D)
## Додаткове читання
Для отримання додаткової інформації див.
* [Математичні вирази](/latex/uk/matematika/01-mathematical-expressions.md)
* [Нижні та верхні індекси](/latex/uk/matematika/02-subscripts-and-superscripts.md)
* [Дроби та біноми](/latex/uk/matematika/05-fractions-and-binomials.md)
* [Стиль відображення в математичному режимі](/latex/uk/matematika/10-display-style-in-math-mode.md)
---
# Agent Instructions
This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com.
## Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter:
```
GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/uk/matematika/09-integrals-sums-and-limits.md?ask=&goal=
```
`ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language.
`goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.