> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/vi/theo-linh-vuc/01-theorems-and-proofs.md). # Định lý và chứng minh ## Giới thiệu Tài liệu toán học bao gồm các thành phần cần định dạng và đánh số đặc biệt như định lý, định nghĩa, mệnh đề, nhận xét, hệ quả, bổ đề, v.v. Bài viết này giải thích cách định nghĩa các môi trường này trong LaTeX. Các môi trường có đánh số trong LaTeX có thể được định nghĩa bằng lệnh `\newtheorem` lệnh này nhận hai đối số: ```latex \newtheorem{theorem}{Định lý} ``` * đối số thứ nhất là tên của môi trường được định nghĩa * đối số thứ hai là từ sẽ được in đậm ở đầu môi trường. Sau khi môi trường mới này được định nghĩa, nó có thể được dùng bình thường trong tài liệu, được bao bởi `\begin{theorem}` và `\end{theorem}`. Một ví dụ được trình bày dưới đây: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \newtheorem{theorem}{Định lý} \begin{document} \section{Giới thiệu} Có thể dễ dàng định nghĩa các định lý: \begin{theorem} Cho \(f\) là một hàm có đạo hàm tồn tại tại mọi điểm, khi đó \(f\) là một hàm liên tục. \end{theorem} \end{document} ``` [Mở ví dụ này trong Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ví dụ này tạo ra kết quả sau: ![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/a14d78bed0ae90b18221a372050ff23c1979065d) ## Các định lý, định nghĩa, hệ quả và bổ đề có đánh số Việc đánh số các môi trường có thể được điều khiển bằng hai tham số bổ sung trong `\newtheorem` lệnh. Hãy xem: ```latex \newtheorem{theorem}{Định lý}[section] \newtheorem{corollary}{Hệ quả}[theorem] \newtheorem{lemma}[theorem]{Bổ đề} \begin{document} \section{Giới thiệu} Có thể dễ dàng định nghĩa các định lý: \begin{theorem} Cho \(f\) là một hàm có đạo hàm tồn tại tại mọi điểm, khi đó \(f\) là một hàm liên tục. \end{theorem} \begin{theorem}[Định lý Pitago] \label{pythagorean} Đây là một định lý về các tam giác vuông và có thể được tóm tắt bằng biểu thức sau equation \[ x^2 + y^2 = z^2 \] \end{theorem} Và một hệ quả của định lý \ref{pythagorean} là mệnh đề trong hệ quả sau. \begin{corollary} Không có hình chữ nhật nào có các cạnh dài 3cm, 4cm và 6cm. \end{corollary} Bạn có thể tham chiếu các định lý như \ref{pythagorean} khi đã gán nhãn. \begin{lemma} Cho hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là \(a\) và \(b\), tồn tại một số thực \(r\) sao cho \(b=ra\). \end{lemma} ``` [Mở ví dụ này trong Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ví dụ này tạo ra kết quả sau: ![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/e5f78d118ed2c968278286754dc9c2829ae0d431) Có ba môi trường mới được định nghĩa trong phần tiền đề. **\newtheorem{theorem}{Định lý}\[section]** Đây là ví dụ được trình bày trong phần giới thiệu nhưng nó có tham số bổ sung \[section] làm đặt lại bộ đếm định lý ở mỗi phần mới. **\newtheorem{corollary}{Hệ quả}\[theorem]** Một môi trường có tên corollary được tạo ra; bộ đếm của môi trường mới này sẽ được đặt lại mỗi khi một môi trường theorem mới được dùng. **\newtheorem{lemma}\[theorem]{Bổ đề}** Trong trường hợp này, mặc dù một môi trường mới có tên lemma được tạo ra, nó sẽ dùng cùng bộ đếm với môi trường theorem. Một số định lý nổi tiếng có tên riêng của chúng, trong những trường hợp này bạn có thể thêm tên đó trong dấu ngoặc vuông ở lệnh mở môi trường. Trong ví dụ, dòng `\begin{theorem}[Định lý Pitago]` sẽ in "Định lý Pitago" ở đầu đoạn văn. Giống như nhiều phần tử có đánh số khác trong LaTeX, lệnh `\label` có thể được dùng để tham chiếu các môi trường kiểu định lý trong tài liệu. ## Các môi trường kiểu định lý không đánh số Việc có một môi trường kiểu định lý không đánh số để thêm nhận xét, bình luận hoặc ví dụ vào một tài liệu toán học có thể rất hữu ích. Gói `amsthm` này cung cấp chức năng đó. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem*{remark}{Nhận xét} \begin{document} Các môi trường kiểu định lý không đánh số cũng là điều có thể. \begin{remark} Tôi đoán là mệnh đề này đúng. \end{remark} \end{document} ``` [Mở ví dụ này trong Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ví dụ này tạo ra kết quả sau: ![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/6dc81e12d01293f54e2ace92142b0f3c1f9aaf7d) Cú pháp của lệnh `\newtheorem*` giống với phiên bản không có dấu sao, ngoại trừ các tham số bộ đếm. Trong ví dụ này, một môi trường không đánh số mới có tên là `nhận xét` được tạo ra. ## Kiểu định lý Một tính năng quan trọng khi làm việc với tài liệu toán học là có thể dễ dàng phân biệt, chẳng hạn, định nghĩa với định lý nhờ định dạng của chúng. Gói `amsthm` cung cấp các lệnh đặc biệt để thực hiện điều này. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Định nghĩa}[section] \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Nhận xét} \begin{document} \section{Giới thiệu} Các môi trường kiểu định lý không đánh số cũng là điều có thể. \begin{remark} Tôi đoán là mệnh đề này đúng. \end{remark} Và dưới đây là một định nghĩa khá không trang trọng \begin{definition}[Sợi hóa] Một phép sợi hóa là một ánh xạ giữa hai không gian tôpô có tính chất nâng đồng luân đối với mọi không gian \(X\). \end{definition} \end{document} ``` [Mở ví dụ này trong Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ví dụ này tạo ra kết quả sau: ![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/2bd6d2941c59676d8df12efbcb3437023c6d3451) Lệnh `\theoremstyle{ }` thiết lập kiểu trình bày cho môi trường có đánh số được định nghĩa ngay bên dưới nó. Trong ví dụ trên, các kiểu *nhận xét* và *định nghĩa* được dùng. Hãy chú ý rằng phần nhận xét hiện được in nghiêng và phần văn bản trong môi trường dùng kiểu chữ thường (Roman), còn định nghĩa thì cũng dùng kiểu chữ Roman cho phần nội dung bên trong nhưng từ "Định nghĩa" được in bằng chữ đậm. Xem [hướng dẫn tham khảo](#reference-guide) để biết thêm các kiểu định lý. ## Chứng minh Các chứng minh là cốt lõi của các bài báo và sách toán học, và theo thông lệ, người ta tách chúng ra về mặt trình bày khỏi phần văn bản bình thường trong tài liệu. Gói `amsthm` cung cấp môi trường `chứng minh` cho việc này. ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Định lý}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Bổ đề} \begin{document} \section{Giới thiệu} \begin{lemma} Cho hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là \(a\) và \(b\), tồn tại một số thực \(r\) sao cho \(b=ra\). \end{lemma} \begin{proof} Để chứng minh bằng phản chứng, hãy thử giả sử mệnh đề là sai, rồi tiếp tục từ đó và đến một lúc nào đó bạn sẽ đi tới một mâu thuẫn. \end{proof} \end{document} ``` [Mở ví dụ này trong Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ví dụ này tạo ra kết quả sau: ![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/0ab95b794a4f4053eeec17c1e06b6897f414588a) Từ `Chứng minh` được in nghiêng và có thêm một khoảng cách, đồng thời một ký hiệu đặc biệt được dùng để đánh dấu kết thúc của chứng minh. Ký hiệu này có thể dễ dàng thay đổi; để biết cách thực hiện, xem phần tiếp theo. ## Thay đổi ký hiệu QED Ký hiệu được in ở cuối một chứng minh được gọi là “ký hiệu QED”. Trích dẫn [ý nghĩa của QED](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) từ Wikipedia: > QED là chữ viết tắt của cụm từ Latin *quod erat demonstrandum*, có nghĩa là “như vậy điều đó đã được chứng minh” Bạn có thể dễ dàng dùng một ký hiệu hoặc từ ngữ do bạn chọn để biểu diễn ký hiệu QED. Lệnh ```latex \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} ``` có thể được dùng để thay thế hình vuông trắng mặc định bằng hình vuông đen được in bởi `$\blacksquare$`, tham số bên trong dấu ngoặc nhọn. Hoặc bạn có thể viết tường minh từ QED: ```latex \renewcommand\qedsymbol{QED} ``` Dưới đây là một ví dụ minh họa cho cả hai tùy chọn: ```latex \documentclass{article} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{theorem}{Định lý}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Bổ đề} \begin{document} \section{Giới thiệu} \begin{lemma} Cho hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là \(a\) và \(b\), tồn tại một số thực \(r\) sao cho \(b=ra\). \end{lemma} \renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} \begin{proof} Để chứng minh bằng phản chứng, hãy thử giả sử mệnh đề là sai, rồi tiếp tục từ đó và đến một lúc nào đó bạn sẽ đi tới một mâu thuẫn. \end{proof} \renewcommand\qedsymbol{QED} \begin{proof} Để chứng minh bằng phản chứng, hãy thử giả sử mệnh đề là sai, rồi tiếp tục từ đó và đến một lúc nào đó bạn sẽ đi tới một mâu thuẫn. \end{proof} \end{document} ``` [Mở ví dụ này trong Overleaf.](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D) Ví dụ này tạo ra kết quả sau: ![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/79f177d8dcb589b28ba413e6f24797dfd538f999) ## Hướng dẫn tham khảo ***Kiểu định lý*** * `định nghĩa` tiêu đề in đậm, phần nội dung kiểu Roman. Thường dùng trong các định nghĩa, điều kiện, bài toán và ví dụ. * `plain` tiêu đề in đậm, phần nội dung in nghiêng. Thường dùng trong các định lý, bổ đề, hệ quả, mệnh đề và giả thuyết. * `nhận xét` tiêu đề in nghiêng, phần nội dung kiểu Roman. Thường dùng trong các nhận xét, ghi chú, chú thích, khẳng định, trường hợp, lời cảm ơn và kết luận. ## Đọc thêm Để biết thêm thông tin, xem: * [Biểu thức toán học](/latex/vi/toan-hoc/01-mathematical-expressions.md) * [Các môi trường](/latex/vi/cac-lenh/02-environments.md) * [Kiểu hiển thị trong chế độ toán học](/latex/vi/toan-hoc/10-display-style-in-math-mode.md) * [Danh sách các chữ cái Hy Lạp và ký hiệu toán học](/latex/vi/toan-hoc/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md) * [Phông chữ toán học](/latex/vi/toan-hoc/12-mathematical-fonts.md) * [Các dự án LaTeX nhiều tệp](/latex/vi/cau-truc-tai-lieu/08-multi-file-latex-projects.md) * [Liên kết chéo các phần và phương trình](/latex/vi/cau-truc-tai-lieu/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md) * [Siêu liên kết](/latex/vi/cau-truc-tai-lieu/09-hyperlinks.md) * [Tính năng **amsthm** tài liệu gói](http://www.ctan.org/pkg/amsthm) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/vi/theo-linh-vuc/01-theorems-and-proofs.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.