> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://overleaf-pro.ayaka.space/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/vi/toan-hoc/09-integrals-sums-and-limits.md). # Tích phân, tổng và giới hạn ## Tích phân Biểu thức tích phân có thể được thêm bằng `\int_{lower}^{upper}` lệnh này. Lưu ý rằng biểu thức tích phân có thể trông hơi khác trong chế độ toán nội dòng và chế độ hiển thị. | Mã LaTeX | Kết quả | | --------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------- | | `Tích phân \(\int_{a}^{b} x^2 \,dx\) trong văn bản` | ![Example of an integral inside text](/files/43393778538f8bdf138461fb7165d0dbee0717f0) | | `\[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \]` | ![Example of an integral](/files/d08459f944afdad7bf7aa084a4fb57c4c2c6cbf9) | ## Tích phân bội Để có được tích phân kép/tích phân ba/tích phân bội và tích phân vòng, bạn phải dùng `amsmath` và `esint` (cho tích phân vòng) các gói. | Mã LaTeX | Kết quả | | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- | | `latex
\begin{gather*}
\iint_V \mu(u,v) \,du\,dv
\\
\iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw
\\
\iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw
\\
\idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k
\end{gather*}
` | ![Example of multiple integrals](/files/602509fe828f250af2a0a11fdb6a33a114af2030) | | `latex
\[
\oint_V f(s) \,ds
\]
` | ![Example of integrals](/files/9091e6e1dbe895624b27045b7c7b6067169bdb05) | ## Tổng và tích Tương tự như tích phân, biểu thức tổng có thể được thêm bằng `\sum_{lower}^{upper}` lệnh này. | Mã LaTeX | Kết quả | | ----------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------- | | `Tổng $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1$ trong văn bản` | ![Example of sum expression inside text](/files/358a713547e936b367fc99b5190de9f7bdbef56f) | | `\[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \]` | ![Example of sum expression](/files/32e09723250cd050857f4146ede1c41c30435471) | Tương tự, bạn có thể tạo biểu thức với tích của một dãy thừa số bằng `\prod_{lower}^{upper}` lệnh này. | Mã LaTeX | Kết quả | | ------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------- | | `Tích $\prod_{i=a}^{b} f(i)$ trong văn bản` | ![Example of limit expression inside text](/files/34bac14055fac7c84706685de5156a9d64358e9f) | | `\[ \prod_{i=a}^{b} f(i) \]` | ![Example of limit expression](/files/67cd76fc45500ced80fecd29215fa731a0449913) | ## Giới hạn Biểu thức giới hạn có thể được thêm bằng `\lim_{lower}` lệnh này. | Mã LaTeX | Kết quả | | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------- | | `Giới hạn $\lim_{x\to\infty} f(x)$ trong văn bản` | ![Example of limits inside text](/files/13bd46984067a350d780e8839bda146b5d1daa74) | | `\[ \lim_{x\to\infty} f(x) \]` | ![Example of limits](/files/de09891440c85829b7187ec179e28de03ab947e7) | ## Ví dụ Đây là một tài liệu LaTeX ví dụ: ```latex \documentclass{article} \title{Tích phân, Tổng và Giới hạn} \author{Overleaf} \date{} \usepackage{amsmath} \begin{document} \maketitle \section{Tích phân} Tích phân \(\int_{a}^{b} x^2 dx\) trong văn bản. \medskip Cùng tích phân đó ở dạng hiển thị: \[ \int_{a}^{b} x^2 \,dx \] và các tích phân bội: \begin{gather*} \iint_V \mu(u,v) \,du\,dv \\ \iiint_V \mu(u,v,w) \,du\,dv\,dw \\ \iiiint_V \mu(t,u,v,w) \,dt\,du\,dv\,dw \\ \idotsint_V \mu(u_1,\dots,u_k) \,du_1 \dots du_k \\ \oint_V f(s) \,ds \end{gather*} \section{Tổng và tích} Tổng \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1\) trong văn bản. Cùng tổng đó ở dạng hiển thị: \[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \] Tích \(\prod_{i=a}^{b} f(i)\) trong văn bản. Cùng tích đó ở dạng hiển thị: \[ \prod_{i=a}^{b} f(i) \] \section{Giới hạn} Giới hạn \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) trong văn bản. Cùng giới hạn đó ở dạng hiển thị: \[ \lim_{x\to\infty} f(x) \] \end{document} ``` [Mở ví dụ này trong Overleaf](https://www.overleaf.com/docs?engine=lualatex\&snip_name=Integrals%2C+Sums+and+Limits\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Ctitle%7BIntegrals%2C+Sums+and+Limits%7D%0A%5Cauthor%7BOverleaf%7D%0A%5Cdate%7B%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsmath%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Cmaketitle%0A%0A%5Csection%7BIntegrals%7D%0A%0AIntegral+%5C%28%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+dx%5C%29+inside+text.%0A%0A%5Cmedskip%0A%0AThe+same+integral+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+x%5E2+%5C%2Cdx%0A%5C%5D%0Aand+multiple+integrals%3A%0A%5Cbegin%7Bgather%2A%7D%0A++++%5Ciint_V+%5Cmu%28u%2Cv%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiint_V+%5Cmu%28u%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Ciiiint_V+%5Cmu%28t%2Cu%2Cv%2Cw%29+%5C%2Cdt%5C%2Cdu%5C%2Cdv%5C%2Cdw%0A%5C%5C%0A++++%5Cidotsint_V+%5Cmu%28u_1%2C%5Cdots%2Cu_k%29+%5C%2Cdu_1+%5Cdots+du_k%0A%5C%5C%0A++++%5Coint_V+f%28s%29+%5C%2Cds%0A%5Cend%7Bgather%2A%7D%0A%0A%5Csection%7BSums+and+products%7D%0A%0ASum+%5C%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+sum+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+2%5E%7B-n%7D+%3D+1%0A%5C%5D%0A%0AProduct+%5C%28%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+product+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Cprod_%7Bi%3Da%7D%5E%7Bb%7D+f%28i%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Csection%7BLimits%7D%0A%0ALimit+%5C%28%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%5C%29+inside+text.%0A%0AThe+same+limit+on+display%3A%0A%5C%5B%0A++++%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D+f%28x%29%0A%5C%5D%0A%0A%5Cend%7Bdocument%7D) ## Đọc thêm Để biết thêm thông tin, xem * [Biểu thức toán học](/latex/vi/toan-hoc/01-mathematical-expressions.md) * [Chỉ số dưới và chỉ số trên](/latex/vi/toan-hoc/02-subscripts-and-superscripts.md) * [Phân số và nhị thức](/latex/vi/toan-hoc/05-fractions-and-binomials.md) * [Kiểu hiển thị trong chế độ toán học](/latex/vi/toan-hoc/10-display-style-in-math-mode.md) --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://overleaf-pro.ayaka.space/latex/vi/toan-hoc/09-integrals-sums-and-limits.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.