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# 定理和证明

## 引言

数学文档包含一些需要特殊格式和编号的元素，如定理、定义、命题、备注、推论、引理等等。本文将解释如何在 LaTeX 中定义这些环境。

LaTeX 中的带编号环境可以通过命令定义 `\newtheorem` ，它接受两个参数：

```latex
\newtheorem{theorem}{Theorem}
```

* 第一个是所定义环境的名称
* 第二个是在环境开始处以粗体打印的词语。

一旦定义了这个新环境，就可以在文档中正常使用，用以下内容界定： `\begin{theorem}` 和 `\end{theorem}`。下面给出一个例子：

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\begin{document}

\section{引言}
定理可以很容易地定义：

\begin{theorem}
设 \(f\) 为一个在每一点都存在导数的函数，则 \(f\)
是一个连续函数。
\end{theorem}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此示例生成以下输出：

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/7124066474066dd26e04732b37cef936ecceb8c8)

## 带编号的定理、定义、推论和引理

这些环境的编号可以通过在 `\newtheorem` 命令中添加两个额外参数来控制。我们来看看：

```latex
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{引言}
定理可以很容易地定义：

\begin{theorem}
设 \(f\) 为一个在每一点都存在导数的函数，则 \(f\) 是
一个连续函数。
\end{theorem}

\begin{theorem}[Pythagorean theorem]
\label{pythagorean}
这是一个关于直角三角形的定理，可以概括为下式
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

而定理 \ref{pythagorean} 的一个推论是下面
这个推论。

\begin{corollary}
不存在边长分别为 3cm、4cm 和 6cm 的直角矩形。
\end{corollary}

当分配了标签时，你可以引用诸如 \ref{pythagorean} 这样的定理。

\begin{lemma}
给定两条线段，长度分别为 \(a\) 和 \(b\)，则存在一个
实数 \(r\) 使得 \(b=ra\)。
\end{lemma}
```

[在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此示例生成以下输出：

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/50908ca79a2aefa944552cf77dd9470df71c4408)

导言区定义了三个新环境。

**\newtheorem{theorem}{Theorem}\[section]**

这是引言中给出的示例，但它额外带有参数 \[section]，该参数会在每个新节开始时重置定理计数器。

**\newtheorem{corollary}{Corollary}\[theorem]**

创建了一个名为 corollary 的环境，这个新环境的计数器会在每次使用新的 theorem 环境时重置。

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}**

在这种情况下，尽管创建了一个名为 lemma 的新环境，它将使用与 theorem 环境相同的计数器。

有些著名定理有自己的名称，对于这些情况，你可以在环境开始命令中的方括号里添加该名称。在示例中，该行 `\begin{theorem}[Pythagorean theorem]` 会在段落开头打印“Pythagorean theorem”。

与 LaTeX 中许多其他带编号元素一样，命令 `\label` 可用于在文档中引用类似定理的环境。

## 无编号的类定理环境

在数学文档中，拥有一个无编号的类定理环境来添加备注、评论或示例会很有用。 `amsthm` 包提供了此功能。

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Remark}

\begin{document}
也可以使用无编号的类定理环境。

\begin{remark}
我猜这句话是真的。
\end{remark}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此示例生成以下输出：

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/38666a5008fe69d7fb1b3ea3b92f28cec51858ca)

命令 `\newtheorem*` 的语法与非星号版本相同，除了计数器参数之外。在这个例子中，创建了一个名为 `备注` 的新的无编号环境。

## 定理样式

在处理数学文档时，一个重要的功能是能通过格式轻松区分，例如，定义和定理。 `amsthm` 包提供了特殊命令来实现这一点。

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Remark}

\begin{document}
\section{引言}
也可以使用无编号的类定理环境。

\begin{remark}
我猜这句话是真的。
\end{remark}

下面是一个稍微非正式的定义

\begin{definition}[Fibration]
纤维化是两个拓扑空间之间的一种映射，它对每个空间 \(X\) 都具有同伦提升性质。
\end{definition}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此示例生成以下输出：

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/31cfa8a3e8d315855e877299f9d33482d7217779)

命令 `\theoremstyle{ }` 用于设置其下方定义的带编号环境的样式。在上面的例子中，使用了 *备注* 和 *定义* 样式。请注意，remark 现在是斜体，而环境中的文本使用普通（罗马）字体；另一方面，definition 中的文本也使用罗马字体，但“Definition”一词以粗体打印。

参见 [参考指南](#reference-guide) 以了解更多定理样式。

## 证明

证明是数学论文和书籍的核心，通常会将它们在视觉上与文档中的普通文本分开。 `amsthm` 包提供了 `证明` 环境，用于此目的。

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{引言}
\begin{lemma}
给定两条线段，长度分别为 \(a\) 和 \(b\)，则
存在一个实数 \(r\) 使得 \(b=ra\)。
\end{lemma}

\begin{proof}
要通过反证法证明它，试着假设该命题为假，
从那里继续，最后你会得到矛盾。
\end{proof}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此示例生成以下输出：

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/4eac4a421533b2c835f54a3f4562805c0cd7014f)

单词 `证明` 采用斜体，并且有一些额外间距，此外还使用了一个特殊符号来标记证明的结束。这个符号很容易更改，如何更改请看下一节。

## 更改 QED 符号

在证明末尾打印的符号称为“QED 符号”。引用 [QED 的含义](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) 自维基百科：

> QED 是拉丁短语的首字母缩略词 *quod erat demonstrandum*，意思是“因此已被证明”

很容易使用你选择的符号或措辞来表示 QED 符号。命令

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

可用来将默认的白方块替换为由 `$\blacksquare$`打印的黑方块，花括号中的参数。或者，你也可以显式写出单词 QED：

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

下面是一个演示这两种选项的例子：

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{引言}

\begin{lemma}
给定两条线段，长度分别为 \(a\) 和 \(b\)，则
存在一个实数 \(r\) 使得 \(b=ra\)。
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
要通过反证法证明它，试着假设该命题为假，
从那里继续，最后你会得到矛盾。
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
要通过反证法证明它，试着假设该命题为假，
从那里继续，最后你会得到矛盾。
\end{proof}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中打开此示例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此示例生成以下输出：

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/062819ca3d8285e32d4c0ff3a35e5c772df91220)

## 参考指南

***定理样式***

* `定义` 粗体标题，罗马体正文。通常用于定义、条件、问题和示例。
* `plain` 粗体标题，斜体正文。通常用于定理、引理、推论、命题和猜想。
* `备注` 斜体标题，罗马体正文。通常用于备注、注释、说明、断言、情况、致谢和结论。

## 进一步阅读

更多信息请参见：

* [数学表达式](/latex/zh-cn/shu-xue/01-mathematical-expressions.md)
* [环境](/latex/zh-cn/ming-ling/02-environments.md)
* [数学模式中的显示样式](/latex/zh-cn/shu-xue/10-display-style-in-math-mode.md)
* [希腊字母和数学符号列表](/latex/zh-cn/shu-xue/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [数学字体](/latex/zh-cn/shu-xue/12-mathematical-fonts.md)
* [多文件 LaTeX 项目](/latex/zh-cn/wen-dang-jie-gou/08-multi-file-latex-projects.md)
* [章节和公式的交叉引用](/latex/zh-cn/wen-dang-jie-gou/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [超链接](/latex/zh-cn/wen-dang-jie-gou/09-hyperlinks.md)
* [该 **amsthm** 包文档](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


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