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# TeX 如何在 \hbox 中計算 glue 設定

這是本系列的第三篇，也是最後一篇文章，探討 $$\mathrm \TeX$$ 方框與膠料。第一篇文章 [盒子與膠水：使用 LuaTeX 的簡短但具視覺化的介紹](/latex/zh-tw/shen-ru-wen-zhang/11-boxes-and-glue-a-brief-but-visual-introduction-using-luatex.md) 介紹了方框與膠料的概念，並接著介紹 [《潘朵拉的 \hbox：使用 LuaTeX 掀開 TeX 方框的蓋子》](/latex/zh-tw/shen-ru-wen-zhang/36-pandora-s-hbox-using-luatex-to-lift-the-lid-of-tex-boxes.md) 其中介紹了一個 [$$\text{Lua}\mathrm\TeX$$以……為基礎的 Overleaf 專案](https://www.overleaf.com/latex/examples/exploring-the-structure-of-tex-boxes-with-luatex/pwdrypmtdbgs) 以探索……更深層結構 $$\mathrm \TeX$$ 透過使用節點圖來研究方框更深層的結構。在這最後一篇中，我們將「深入探討」……的運作機制 $$\mathrm \TeX$$ 在一個……中如何計算膠料值 `\hbox`：這個過程稱為 *設定膠料*。我們大量使用節點圖（在本系列的 [《潘朵拉的 \hbox：使用 LuaTeX 掀開 TeX 方框的蓋子》](/latex/zh-tw/shen-ru-wen-zhang/36-pandora-s-hbox-using-luatex-to-lift-the-lid-of-tex-boxes.md) 一文中介紹過），並展示如何使用及解讀它們提供的一些資料： `glue_set`, `glue_sign` 和 `glue_order`.

我們提供一個完整演算的膠料計算範例，針對一個 `\hbox` 並涵蓋許多細節；然而，可能還有其他情況與考量，本文無法在此一一說明，感興趣的讀者可參閱……第 77 頁 $$\text{The } \mathrm \TeX \text{book}$$.

## 挑戰

假設我們有一個 `\hbox` 像這樣：

```latex
\hbox to100pt{%
A\hskip4pt plus3pt minus 2pt%
B\hskip 0pt plus 2fil%
C\hskip 0pt plus 2fill%
D\hskip 0pt plus 3fill%
}
```

這個方框看起來是這樣——為了清楚起見，這裡以放大且加上邊框的方式顯示：

![方框](/files/a594ba61090be426a082f2c3a75447dc9118a922)

問題是：最後的值是多少，以 $$\mathrm \TeX$$ 點為單位，以下各項之間的空間（膠料）：

* A 與 B
* B 與 C
* C 與 D
* D 與方框結尾之間

也就是說，我們要計算以下各項的值： $$\mathrm{g}*{1}, \mathrm{g}*{2}, \mathrm{g}*{3} \text{ and } \mathrm{g}*{4}:$$

![彈性間距](/files/fc5ae9373873d94f76f6426ac7ccec2441b70571)

這裡是一個表示上述方框的節點圖。特別值得注意的是「metadata」區段中的三個值：

* `glue_set`
* `glue_sign`
* `glue_order`

![節點圖](/files/e0831613ca242e34ee23ad6d31885b4f335ba732)

需要注意的是，某組特定的 `glue_set`, `glue_sign` 和 `glue_order` 只會影響最上層方框中的膠料：它們不會影響 *巢狀* 方框：每個巢狀方框（hlist 或 vlist 物件）都有這三個參數各自的值。以下是一個 `\hbox` 巢狀於外層 `\hbox`。在這個例子中，你可以清楚看到……不同的值 `glue_set`——當然，巢狀方框對於……也可以有不同的值 `glue_sign` 和 `glue_order`.

```latex
\hbox to 75pt{\hfill ABC\hbox to15pt{\hfill D}}
```

![節點圖](/files/8b4e0585a0efcec0b56ebe52f0f2d871b7845423)

## 膠料類型、無窮與階數：摘要

$$\mathrm \TeX$$ 提供了多個與膠料相關的基本指令，包括：

* 水平膠料： `\hskip`, `\hfil`, `\hfill`, `\hfilneg`, `\hss`;
* 垂直膠料：`\vskip`, `\vfil`, `\vfill`, `\vfilneg`, `\vss`;

以及 `\mskip` 用於在數學式中插入膠料。

一項膠料由三個值定義：

* **自然寬度**：若不拉伸或壓縮，它會占用多少空間；
* **拉伸分量**：膠料最多可拉伸多少；
* **壓縮分量**：膠料最多可壓縮多少。

我們接下來要討論的是在一個……內部使用膠料 `\hbox{...}` 以及用來計算 $$\mathrm \TeX$$ 用來決定膠料最終會占用多少空間的計算。接下來我們要用來建立一些 *水平* 膠料的指令是 `\hskip`，其形式如下：

`**\hskip** *<natural width>* **plus** *<amount to stretch>* **minus** *<amount to shrink>*`

對於 *垂直* 你會使用的膠料 `**\vskip** *<natural width>* **plus** *<amount to stretch>* **minus** *<amount to shrink>*`.

例如，某些典型的水平膠料可表示為 `\hskip 3pt plus 2pt minus 1pt`。你也可以使用其他實體單位：

* `\hskip 3mm plus 2mm minus 1mm`
* `\hskip 3in plus 2in minus 1in`
* `\hskip 1in plus 3cm minus 20mm`

## $$\mathrm \TeX$$ 膠料與「無窮」單位

對於膠料的壓縮或拉伸分量 $$\mathrm \TeX$$ 還引入另一種單位：所謂的「無窮」： $$\text{fil}$$, $$\text{fill}$$ 和 $$\text{filll}$$。這三個「無窮層級」的排列順序中，後一個都比前一個「更無窮」：

$$\text{fil} < \text{fill} < \text{filll}$$

也許「無窮」這個名稱對這些單位來說有點令人困惑——也可以把它們視為不同層級的 *優先順序*，因為，終究，它們有助於決定哪些膠料實際參與拉伸或壓縮的過程。透過讓膠料具有「無窮」的拉伸或壓縮分量， $$\mathrm \TeX$$ 就能建立可按任意所需量拉伸或壓縮的膠料。請注意，對於有限膠料， $$\mathrm \TeX$$ 會限制這類膠料可壓縮的幅度。以下是一個「無窮」膠料的例子：

`\hskip 3pt plus 2fil minus 1fill`

請注意，我們不能寫成例如 `\hskip 1fil` ，因為 $$\mathrm \TeX$$ 會回報錯誤，訊息為 `不合法的度量單位（已插入 pt）`。到這裡，這些「無窮層級」可能聽起來非常奇怪，但暫時請先照字面接受它，接下來我們很快就會看到 $$\mathrm \TeX$$ 在進行膠料計算時如何使用這些無窮。

### 無窮層級（「膠料階數」）

在內部，當 $$\mathrm \TeX$$ 執行膠料計算時，它認為每一個無窮層級都是一個「膠料階數」，範圍為 0–3，其中第 0 階用於具有實體單位（如 bp、pt、mm 等）的膠料。然而，對於 $$\text{Lua}\mathrm\TeX$$ 這裡有一點差異，因為它實際上多了一種在許多其他 $$\mathrm \TeX$$ 引擎中並不存在的無窮類型（階數）： $$\text{fi}$$ （見下方說明）。如果你閱讀 $$\text{The } \mathrm \TeX\text{book}$$ 你不會看到任何關於 $$\text{fi}$$ 無窮的提及——原因很簡單：它並未實作在 Knuth 原始的 $$\mathrm \TeX$$ 軟體中。因此，我們在……之間存在一點「脫節」 $$\text{Lua}\mathrm\TeX\text{'s}$$ 無窮的階數，以及你可能在……相關書籍中看到的那些階數 $$\mathrm \TeX$$. $$\text{Lua}\mathrm\TeX$$ 使用的無窮階數範圍是 0–4，但其他（常見） $$\mathrm \TeX$$ 引擎的範圍是 0–3。以下是一個表格，顯示每種膠料單位所對應的膠料階數。

|                           |                |     |     |      |       |
| ------------------------- | -------------- | --- | --- | ---- | ----- |
|                           | 實體單位（pt、mm、in） | fi  | fil | fill | filll |
| $$\text{Lua}\mathrm\TeX$$ | 0              | 1   | 2   | 3    | 4     |
| 其他引擎                      | 0              | 不適用 | 1   | 2    | 3     |

### 關於……的註解 $$\text{Lua}\mathrm\TeX$$：為何要多一個無窮？

$$\text{Lua}\mathrm\TeX$$ 是從多個專案與程式碼函式庫衍生而來的，其中包括一個名為 [Omega](https://en.wikipedia.org/wiki/Omega_\(TeX\)). $$\text{Lua}\mathrm\TeX$$ 納入了 Omega 程式碼的某些部分，其中包括一種稱為 $$\text{fi}$$的新型無窮膠料。摘自 Omega 手冊：

> 「新增了一個無窮層級 $$\text{fi}$$ 。它已被加入。它比 $$\text{fil}$$ 更小，但比任何有限量都大。它最初的用途是用於字母間拉伸：要麼補黑，正如阿拉伯文等書法文字所做的；要麼用於強調，如俄文；而且無須重寫現有的巨集套件。因此，新增了一個關鍵字， $$\text{fi}$$，以及兩個新的原始指令， `\hfi` 和 `\vfi`」。

## 回到我們的挑戰

依照 Knuth 的模型，我們先定義兩個量：

* 方框的目標寬度： $$\mathrm{W}\_{\mathrm{D}}$$——我們希望它有多寬；
* 方框的自然寬度： $$\mathrm{W}\_{\mathrm{N}}$$——在任何膠料被拉伸或壓縮之前，其構成元素所占據的總空間。

### 方框的自然寬度

方框的自然寬度是該方框中所有組成部分的總寬度：字元、kern、巢狀方框以及任何膠料。對於方框內的膠料，其自然寬度會忽略膠料的任何拉伸或壓縮：也就是說，在任何拉伸或壓縮發生之前的大小。

再一次，這裡是我們正在檢視的方框：

```latex
\hbox to100pt{%
A\hskip4pt plus3pt minus 2pt%
B\hskip 0pt plus 2fil%
C\hskip 0pt plus 2fill%
D\hskip 0pt plus 3fill%
}
```

顯然，我們希望方框寬度為 100pt，因此 $$\mathrm{W}*{\mathrm{D}}=100\mathrm{pt}$$ 但它的自然寬度呢， $$\mathrm{W}*{\mathrm{N}}$$？要計算自然寬度，很明顯我們需要四個字元（A、B、C 和 D）的寬度，加上四段膠料的自然寬度。

$$\eqalign{\mathrm{W}\_{\mathrm{N}} &= &\text{width(A)} + \text{width(B)} + \text{width(C)} + \text{width(D)} \ & &+ \text{width}(\verb\*\hskip 4pt plus3pt minus 2pt\*)\ & &+\text{width}(\verb\*\hskip 0pt plus 2fil\*)\ & &+\text{width}(\verb\*\hskip 0pt plus 2fill)*\ & &+\text{width}(\verb*\hskip 0pt plus 3fill\*)\ }$$

其中 $$\text{width}$$ 只是用來表示某個項目自然寬度的記號。我們可以從節點圖取得四個字元（A、B、C 和 D）的自然寬度：

![節點圖](/files/9fc821d1f731d38e66fd1ab8f3006d910fd0fac1)

從上面的節點圖可以看出：

$$\eqalign{ \text{width(A)} &= 7.50002\text{pt}\ \text{width(B)} &= 7.08336\text{pt}\ \text{width(C)} &= 7.22223\text{pt}\ \text{width(D)} &= 7.6389\text{pt}\ }$$

現在，我們只需要膠料的自然寬度，而這可透過忽略拉伸與壓縮分量輕易得到：

$$\eqalign{ &\text{width}(\verb\*\hskip 4pt plus3pt minus 2pt\*) & = 4\text{pt}\ &\text{width}(\verb\*\hskip 0pt plus 2fil\*) &=0\text{pt}\ &\text{width}(\verb\*\hskip 0pt plus 2fill)*&=0\text{pt}\ &\text{width}(\verb*\hskip 0pt plus 3fill\*)&=0\text{pt}\ }$$

因此：

$$\eqalign{ \mathrm{W}\_{\mathrm{N}} & = \text{widths of characters} + \text{width of all glues}\ &= 7.50002\text{pt}+ 7.08336\text{pt} + 7.22223\text{pt} + 7.6389\text{pt} + 4\text{pt}\space \text{(from }\verb\*\hskip\*\text{)}\ &=33.4445\text{pt}\ }$$

我們現在有兩個關鍵資訊：

$$\eqalign{ \mathrm{W}*{\mathrm{D}} & = 100\text{pt}\ \mathrm{W}*{\mathrm{N}} & = 33.4445\text{pt}\ }$$

顯然， $$\mathrm{W}*{\mathrm{D}} > \mathrm{W}*{\mathrm{N}}$$ 而其差值是 $$(100-33.4445)\text{pt}=66.5555\text{pt}$$；這些多餘的空間必須靠拉伸膠料來填滿——但要拉伸哪些，又要拉伸多少？

### 誰的拉伸量最多？

依照 Knuth 的方法（……第 77 頁） $$\text{The } \mathrm \TeX \text{book}$$），但允許加入額外的無窮類型（$$\text{fi}$$）由 $$\text{Lua}\mathrm \TeX$$提供 *總* 拉伸量，形式如下：

$$\text{total stretch} = y\_{0}+ y\_{1}\text{fi} +y\_{2}\text{fil} +y\_{3}\text{fill} +y\_{4}\text{filll}$$

首先，如果我們寫下 $$\text{total glue}$$:

$$\text{total glue } = (\verb*4pt plus3pt minus 2pt*) + (\verb*0pt plus 2fil*) + (\verb*0pt plus 2fill*) + (\verb*0pt plus 3fill*)$$

我們就可以看出 $$\text{total stretch}$$ 的一般形式如下：

$$\eqalign{ \text{total stretch} & = 3\text{pt}+ 0\text{fi} + (2\text{fil}) + (2\text{fill} + 3\text{fill}) + 0\text{filll}\ &=3\text{pt}+ 0\text{fi} + 2\text{fil} + 5\text{fill} + 0\text{filll}\ }$$

將這與……比較 $$\text{total stretch} = y\_{0}+ y\_{1}\text{fi} +y\_{2}\text{fil} +y\_{3}\text{fill} +y\_{4}\text{filll}\space$$我們可以看出：

$$\eqalign{ y\_0 &=3\text{pt}\ y\_1 &=0\ y\_2 &=2\ y\_3&=5\ y\_4&=0\ }$$

$$\mathrm\TeX$$ 接著會「問自己」：觀察 $$\text{total stretch}$$，哪個非零值所屬的無窮層級最高？檢視我們方框的 $$\text{total stretch}$$ 可以清楚看到，非零且「最無窮」的拉伸分量是 $$\text{fill}$$ 而我們有 $$y\_3=5$$ 個該單位：也就是具有 $$\text{fill}$$ 拉伸分量的膠料提供所有拉伸量。……的下標 3 $$y\_3$$ 告訴我們 `glue_order` 將被使用的膠料……在這個例子中是用於拉伸。現在，如果我們查看這個……的節點圖中的「metadata」區段 `\hbox` 我們現在就能理解另外兩個「metadata 值」（我們會在下一節討論 `glue_set` ）

![metadata](/files/cab2e219932cafb852052cf162430ec26a2de6ac)

* `glue_sign`：告訴你膠料是設定為自然長度、拉伸，還是壓縮：
* 0=設為自然寬度
* 1=拉伸
* 2=壓縮

在我們的例子中， `glue_sign` 的值為 `1`，表示參與的膠料要被拉伸。

* `glue_order` 告訴你涉及的是哪個「無窮」；對於 $$\text{Lua}\mathrm \TeX$$ 值為 3 表示具有……分量的膠料將參與膠料計算——在我們這裡，它們會被拉伸。 $$\text{fill}$$ 分量的膠料將參與膠料計算——在我們這裡，它們會被拉伸。

任何沒有以……單位定義拉伸分量的膠料 $$\text{fill}$$ 都會 **設為其自然長度**：也就是說，它在（本例中）完全不會拉伸。

### 要拉伸或壓縮多少：計算 glue\_set

總結我們目前的位置與已知內容：

1. 方框的目標寬度： $$\mathrm{W}\_{\mathrm{D}} = 100\text{pt}$$;
2. 方框的自然寬度： $$\mathrm{W}\_{\mathrm{N}} = 33.4445\text{pt}$$;
3. 膠料必須拉伸，但只有具有……的膠料 $$\text{fill}$$ 拉伸分量才能執行那個拉伸；
4. 我們總共有 $$(2+3)=5$$ 單位的 $$\text{fill}$$ 可用。

下一個問題是：那些膠料實際上會拉伸多少？這就要用到 *glue set 比率*——在我們的節點圖中稱為 `glue_set` 。 $$\mathrm \TeX$$ 它的作用是先算出需要填補多少空間，然後依據各自拉伸分量的大小，將這些空間按比例分配給適當的膠料。如果你回頭看我們實際的 `\hbox` 你就能清楚看到哪些膠料的拉伸分量包含……單位 $$\text{fill}$$:

```latex
\hbox to100pt{%
A\hskip4pt plus3pt minus 2pt%
B\hskip 0pt plus 2fil%
C\hskip 0pt plus 2fill%
D\hskip 0pt plus 3fill%
}
```

該 $$\textit{glue set ratio }(\text{or } \verb*glue\_set*)$$ 是這樣計算的：

$$\eqalign{ \text{glue set ratio}\space (\verb*glue\_set*) = & {\text{amount to stretch}}\over{\text{value of highest infinity}}\ =& {\mathrm{W}*{\mathrm{D}}-\mathrm{W}*{\mathrm{N}}}\over{y\_3}\ =& {(100-33.4445)}\over{5}\ =& {66.5555}\over{5}\ =& 13.3111\space (\text{to 4 decimal places})\ }$$

而現在是……中的最後一步 $$\mathrm\TeX$$ 演算法被套用：

1. 對於每一項其拉伸分量符合所需 `glue_order` （本例中為 3）的膠料，其長度將變成：

$$\text{stretched value} = \text{natural length} + (\verb*glue\_set* \times \text{value of stretch component})$$

3. 所有其他膠料都會設為其自然長度——也就是說，它們完全不拉伸。

看看我們方框中的膠料：

```latex
\hbox to100pt{%
A\hskip4pt plus3pt minus 2pt%
B\hskip 0pt plus 2fil%
C\hskip 0pt plus 2fill%
D\hskip 0pt plus 3fill%
}
```

我們可以逐一計算它們的最終值：

1. **A 與 B 之間**: `\hskip 4pt plus3pt minus 2pt`。拉伸分量是 `3pt`，其階數是 `0`。所需的 `glue_order` 是 `3`：拉伸分量會被忽略，而這段膠料採用其自然寬度 `4pt`.
2. **B 與 C 之間**: `\hskip 0pt plus 2fil`。拉伸分量是 `2fil`，其階數是 `2`。所需的 `glue_order` 是 `3`：拉伸分量會被忽略，而這段膠料採用其自然寬度 `0pt`.
3. **C 與 D 之間**: `\hskip 0pt plus 2fill`。拉伸分量是 `2fill`，其階數是 `3` 並符合所需的 `glue_order` 的 token 值 `3`。這段膠料將被拉伸為： $$\eqalign{ \text{stretched value}\space = & \text{natural width} + (\verb*glue\_set* \times \text{value of stretch component})\ = & 0\text{pt} + 13.3111 \times 2 \ = & 26.6222\text{pt}\ }$$5. **D 與方框結尾之間**: `\hskip 0pt plus 3fill`。拉伸分量是 `3fill`，其階數是 `3` 並符合所需的 `glue_order` 的 token 值 `3`。這段膠料將被拉伸為： $$\eqalign{ \text{stretched value}\space = &\text{natural width} + (\verb*glue\_set* \times \text{value of stretch component})\ =& 0\text{pt} + 13.3111 \times 3 \ = &39.9333\text{pt}\ }$$

## 最後：檢查總寬度

計算膠料實際占用空間的過程稱為 *設定膠料* 因此我們現在可以檢查是否已將方框填滿到所需寬度， $$(\mathrm{W}\_{\mathrm{D}} = \text{100pt})$$:

$$\eqalign{ \mathrm{W}\_{\mathrm{D}} & = \text{width of all characters} + \text{width of all }\textbf{set}\text{ glue values}\ & = \text{A:7.50002pt} + \text{B:7.08336pt} + \text{C:7.22223pt} + \text{D:7.6389pt}\ & + \text{4pt} + \text{0pt} + \text{26.6222pt} + \text{39.9333pt}\ & = \text{100.00pt} }$$

我們現在知道所有膠料的寬度，並可以準備一張圖來回答本篇文章開頭提出的問題：以下是我們的……中字元之間的膠料寬度 `\hbox`:

![彈性間距](/files/ccfffebc49b39c1757377f31e35580550a8c558b)


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