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# 定理與證明

## 簡介

數學文件包含一些需要特殊格式與編號的元素，例如定理、定義、命題、備註、推論、引理等等。本文說明如何在 LaTeX 中定義這些環境。

LaTeX 中的編號環境可以透過指令 `\newtheorem` 來定義，這個指令接受兩個參數：

```latex
\newtheorem{theorem}{Theorem}
```

* 第一個是所定義之環境的名稱
* 第二個是在環境開頭以粗體字印出的詞語。

一旦這個新環境被定義後，就可以在文件中正常使用，並由以下標記界定： `\begin{theorem}` 和 `\end{theorem}`。以下 प्रस्तुत一個範例：

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\begin{document}

\section{簡介}
定理可以很容易地定義：

\begin{theorem}
設 \(f\) 為一個在每一點皆存在導數的函數，則 \(f\)
是一個連續函數。
\end{theorem}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中開啟此範例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=newtheorem+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+%0Ais+a+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此範例會產生以下輸出：

![OLV2TheoremsProofsEx1.png](/files/baa1ab6b7cc81c7060f1f28d00f5803ce02f03c3)

## 編號的定理、定義、推論與引理

這些環境的編號可以透過在 `\newtheorem` 指令中加入兩個額外參數來控制。讓我們來看看：

```latex
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{簡介}
定理可以很容易地定義：

\begin{theorem}
設 \(f\) 為一個在每一點皆存在導數的函數，則 \(f\) 是
一個連續函數。
\end{theorem}

\begin{theorem}[畢氏定理]
\label{pythagorean}
這是一個關於直角三角形的定理，可以概括為下一個
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}

而定理 \ref{pythagorean} 的一個推論是下一個
推論。

\begin{corollary}
不存在邊長為 3cm、4cm 與 6cm 的直角長方形。
\end{corollary}

當指定了標籤時，你可以引用像 \ref{pythagorean} 這樣的定理。

\begin{lemma}
給定兩條線段，其長度分別為 \(a\) 與 \(b\)，則存在一個
實數 \(r\) 使得 \(b=ra\)。
\end{lemma}
```

[在 Overleaf 中開啟此範例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Numbering+of+theorems\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Bcorollary%7D%7BCorollary%7D%5Btheorem%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0ATheorems+can+easily+be+defined%3A%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%0ALet+%5C%28f%5C%29+be+a+function+whose+derivative+exists+in+every+point%2C+then+%5C%28f%5C%29+is+%0Aa+continuous+function.%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0A%5Cbegin%7Btheorem%7D%5BPythagorean+theorem%5D%0A%5Clabel%7Bpythagorean%7D%0AThis+is+a+theorem+about+right+triangles+and+can+be+summarised+in+the+next+%0Aequation+%0A%5C%5B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+z%5E2+%5C%5D%0A%5Cend%7Btheorem%7D%0A%0AAnd+a+consequence+of+theorem+%5Cref%7Bpythagorean%7D+is+the+statement+in+the+next+%0Acorollary.%0A%0A%5Cbegin%7Bcorollary%7D%0AThere%27s+no+right+rectangle+whose+sides+measure+3cm%2C+4cm%2C+and+6cm.%0A%5Cend%7Bcorollary%7D%0A%0AYou+can+reference+theorems+such+as+%5Cref%7Bpythagorean%7D+when+a+label+is+assigned.%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+is+a+%0Areal+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此範例會產生以下輸出：

![OLV2TheoremsProofsEx2-updated.png](/files/513035bd4dea6e0211646593d69b81f573d57392)

在前言中定義了三個新環境。

**\newtheorem{theorem}{Theorem}\[section]**

這是導言中 प्रस्तुत的範例，但它多了額外參數 \[section]，會在每個新章節開始時重設定理計數器。

**\newtheorem{corollary}{Corollary}\[theorem]**

會建立一個名為 corollary 的環境，當每次使用新的 theorem 環境時，這個新環境的計數器都會重設。

**\newtheorem{lemma}\[theorem]{Lemma}**

在這種情況下，雖然建立了一個名為 lemma 的新環境，但它會與 theorem 環境使用相同的計數器。

有些著名定理有自己的名稱，在這些情況下，你可以在環境開啟指令中的括號裡加入該名稱。在此範例中，這一行 `\begin{theorem}[畢氏定理]` 會在段落開頭印出「畢氏定理」。

如同 LaTeX 中許多其他帶編號的元素一樣，指令 `\label` 可用來在文件中引用類定理環境。

## 無編號的類定理環境

在數學文件中，若有一個無編號的類定理環境可用來加入備註、評論或範例，會很有幫助。 `amsthm` 套件提供了這項功能。

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem*{remark}{Remark}

\begin{document}
也可以使用無編號的類定理環境。

\begin{remark}
我猜這個敘述是真的。
\end{remark}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中開啟此範例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Unnumbered+theorem-like+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此範例會產生以下輸出：

![OLV2heoremsProofsEx3.png](/files/5a74a3ea7b4df848ed9eb97e3f3fa71882fc4377)

指令 `\newtheorem*` 的語法與非星號版本相同，唯獨計數器參數不同。在這個範例中，建立了一個名為 `remark` 的全新無編號環境。

## 定理樣式

在撰寫數學文件時，一個重要的功能是能夠透過格式輕鬆區分，例如將定義與定理區別開來。 `amsthm` 套件提供了特殊指令來完成這件事。

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{定義}[section]

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Remark}

\begin{document}
\section{簡介}
也可以使用無編號的類定理環境。

\begin{remark}
我猜這個敘述是真的。
\end{remark}

接下來是一個稍微不那麼正式的定義

\begin{definition}[纖維化]
纖維化是介於兩個拓撲空間之間的一個映射，對每個空間 \(X\) 都具有同倫提升性質。
\end{definition}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中開啟此範例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=An+amsthm+package+example\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bdefinition%7D%0A%5Cnewtheorem%7Bdefinition%7D%7BDefinition%7D%5Bsection%5D%0A%0A%5Ctheoremstyle%7Bremark%7D%0A%5Cnewtheorem%2A%7Bremark%7D%7BRemark%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0AUnnumbered+theorem-like+environments+are+also+possible.%0A%0A%5Cbegin%7Bremark%7D%0AThis+statement+is+true%2C+I+guess.%0A%5Cend%7Bremark%7D%0A%0AAnd+the+next+is+a+somewhat+informal+definition%0A%0A%5Cbegin%7Bdefinition%7D%5BFibration%5D%0AA+fibration+is+a+mapping+between+two+topological+spaces+that+has+the+homotopy+lifting+property+for+every+space+%5C%28X%5C%29.%0A%5Cend%7Bdefinition%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此範例會產生以下輸出：

![OLV2TheoremsProofsEx4.png](/files/7377f24e7c45944518089cc64558c31aedd5933d)

命令 `\theoremstyle{ }` 會設定其下方所定義的編號環境的樣式。在上面的範例中，使用了 *remark* 和 *definition* 樣式。請注意，備註現在是斜體，而環境中的文字使用一般（羅馬）字體；相對地，定義中的文字也使用羅馬字體，但「Definition」一詞則以粗體字印出。

請參閱 [參考指南](#reference-guide) 以取得更多定理樣式。

## 證明

證明是數學論文與書籍的核心，通常會在視覺上與文件中的一般文字區分開來。 `amsthm` 套件提供了環境 `proof` 供此用途。

```latex
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{簡介}
\begin{lemma}
給定兩條線段，其長度分別為 \(a\) 與 \(b\)，則
存在一個實數 \(r\) 使得 \(b=ra\)。
\end{lemma}

\begin{proof}
要用反證法證明它，可嘗試假設這個敘述為假，
再從那裡繼續推導，某個時刻你會得到矛盾。
\end{proof}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中開啟此範例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Example+of+amsthm+proof+environment\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此範例會產生以下輸出：

![OLV2TheoremsProofsEx5.png](/files/0243f101997ca3503da96bc032a4baa340016850)

這個詞 `Proof` 是斜體，且還有一些額外間距；另外，結尾處會使用一個特殊符號來標示證明結束。這個符號很容易更改，如何更改請見下一節。

## 更改 QED 符號

印在證明結尾的符號稱為「QED 符號」。引述 [QED 的含義](https://en.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.) 自維基百科：

> QED 是拉丁語片語的首字母縮寫 *quod erat demonstrandum*，意為「因此已得證明」

你可以很直接地使用你選擇的符號或文字來表示 QED 符號。指令

```latex
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
```

可用來將預設的白色方塊替換為由 `$\blacksquare$`印出的黑色方塊，也就是大括號內的參數。或者，你也可以明確寫出 QED 一詞：

```latex
\renewcommand\qedsymbol{QED}
```

以下是示範這兩種選項的範例：

```latex
\documentclass{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}

\begin{document}
\section{簡介}

\begin{lemma}
給定兩條線段，其長度分別為 \(a\) 與 \(b\)，則
存在一個實數 \(r\) 使得 \(b=ra\)。
\end{lemma}

\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}

\begin{proof}
要用反證法證明它，可嘗試假設這個敘述為假，
再從那裡繼續推導，某個時刻你會得到矛盾。
\end{proof}

\renewcommand\qedsymbol{QED}

\begin{proof}
要用反證法證明它，可嘗試假設這個敘述為假，
再從那裡繼續推導，某個時刻你會得到矛盾。
\end{proof}
\end{document}
```

[在 Overleaf 中開啟此範例。](https://www.overleaf.com/docs?engine=pdflatex\&snip_name=Changing+the+QED+symbol\&snip=%5Cdocumentclass%7Barticle%7D%0A%0A%5Cusepackage%5Benglish%5D%7Bbabel%7D%0A%5Cusepackage%7Bamsthm%7D%0A%5Cusepackage%7Bamssymb%7D%0A%0A%5Cnewtheorem%7Btheorem%7D%7BTheorem%7D%5Bsection%5D%0A%5Cnewtheorem%7Blemma%7D%5Btheorem%5D%7BLemma%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bdocument%7D%0A%5Csection%7BIntroduction%7D%0A%0A%5Cbegin%7Blemma%7D%0AGiven+two+line+segments+whose+lengths+are+%5C%28a%5C%29+and+%5C%28b%5C%29+respectively+there+%0Ais+a+real+number+%5C%28r%5C%29+such+that+%5C%28b%3Dra%5C%29.%0A%5Cend%7Blemma%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7B%24%5Cblacksquare%24%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%0A%5Crenewcommand%5Cqedsymbol%7BQED%7D%0A%0A%5Cbegin%7Bproof%7D%0ATo+prove+it+by+contradiction+try+and+assume+that+the+statement+is+false%2C%0Aproceed+from+there+and+at+some+point+you+will+arrive+to+a+contradiction.%0A%5Cend%7Bproof%7D%0A%5Cend%7Bdocument%7D)

此範例會產生以下輸出：

![OLV2TheoremsProofsEx6.png](/files/0e7420ece93a6d82d7d91b3d9f448135c3e7b8e1)

## 參考指南

***定理樣式***

* `definition` 粗體標題、羅馬體內容。常用於定義、條件、問題與範例。
* `plain` 粗體標題、斜體內容。常用於定理、引理、推論、命題與猜想。
* `remark` 斜體標題、羅馬體內容。常用於備註、註解、標註、聲明、情況、致謝與結論。

## 延伸閱讀

詳情請見：

* [數學表達式](/latex/zh-tw/shu-xue/01-mathematical-expressions.md)
* [環境](/latex/zh-tw/zhi-ling/02-environments.md)
* [數學模式中的顯示樣式](/latex/zh-tw/shu-xue/10-display-style-in-math-mode.md)
* [希臘字母與數學符號列表](/latex/zh-tw/shu-xue/11-list-of-greek-letters-and-math-symbols.md)
* [數學字型](/latex/zh-tw/shu-xue/12-mathematical-fonts.md)
* [多檔案 LaTeX 專案](/latex/zh-tw/wen-jian-jie-gou/08-multi-file-latex-projects.md)
* [章節與方程式交叉參照](/latex/zh-tw/wen-jian-jie-gou/03-cross-referencing-sections-equations-and-floats.md)
* [超連結](/latex/zh-tw/wen-jian-jie-gou/09-hyperlinks.md)
* [該 **amsthm** 套件說明文件](http://www.ctan.org/pkg/amsthm)


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